2010中考数学超好几何证明压轴题汇编.doc

2010年中考数学几何证明、计算题汇编及解析 1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. 求证：DC=BC; E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论； 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. [解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2. 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为. 所以，△DEC≌△BFC 所以，. 所以， 即△ECF是等腰直角三角形. （3）设,则，所以. 因为，又，所以. 所以 所以. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵点E 、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝AB ，CF＝CD ． ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF ． （2）当四边形BEDF是菱形时， 四边形 AGBD是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四边形AGBD是矩形 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想； 图13－1 A( G ) B( E ) C O D( F ) 图13－2 E A B D G F O M N C （2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图13－3 A B D G E F O M N C [解析]（1）BM=FN． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． BM=FN仍然成立． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． 4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。 （1）若，求CD的长； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。 [解析] （1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点； （2）求证：CG是⊙O的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半径． [解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD (2)方法一：连接CB、OC， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点