2012近五年数学高考压轴题及答案.doc

PAGE  PAGE 24 【1】（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分． 若实数x、y、m满足|x?m|﹥|y?m|，则称x比y远离m． (1) 若x2?1比1远离0，求x的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3?b3比a2b?ab2远离； (3) 已知函数f(x)的定义域．任取x?D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明） 解析：(1) ；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a3?b3比a2b?ab2远离；(3) ，性质：1?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2?f(x)是周期函数，最小正周期，3?函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，k?Z，4?函数f(x)的值域为． 【2】 （Ⅰ）设函数，证明：当时，； （Ⅱ）从编号到的张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式联系抽取20次，设抽得的个号码互不相同的概率为．证明：． [解析] （Ⅰ）, 所以， （Ⅱ）依题意，所抽号码不得再次出现， 同理： 即 又，在函数中，取，由（Ⅰ）得，所以 。 综上所述，，得证 【3】(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）证明： . 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 【解析】20.解： （Ⅰ）， , 题设等价于. 令，则 当，；当时，，是的最大值点， 综上，的取值范围是. (Ⅱ)有（Ⅰ）知，即. 当时，； 当时， 所以 【4】（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解：（Ⅰ） 令得或； 令得或 因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。 （Ⅱ）设点，由过原点知，的方程为， 因此，即，整理得 ，解得或。 所以的方程为或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【5】22.(本小题满分12分) 设函数有两个极值点，且 （I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: （I） 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ⑴当时，在内为增函数； ⑵当时，在内为减函数； ⑶当时，在内为增函数； （II）由（I）， 设， 则 ⑴当时，在单调递增； ⑵当时，，在单调递减。 故．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【6】22．（本小题满分12分） 设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：． 22.解析：（Ⅰ）证明：,,当时， 故函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当时，， 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立； （ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 .而，则， ，也就是说当时，也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立. （Ⅲ）证明：由．可得 若存在某满足，则由⑵知： 若对任意都有，则 ，即成立. 【7】（20）（本小题满分12分） 设函数． （Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围． （20）解： （Ⅰ）的导数． 由于，故． （当且仅当时，等号成立）． （Ⅱ）令，则 ， （ⅰ）若，当时，， 故在上为增函数， 所以，时，，即． （ⅱ）若，方程的正根为， 此时，若，则，故在该区间为减函数． 所以，时，，即，与题设相矛盾． 综上，满足条件的的取值范围是． 【8】2011山东理21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元． （Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （