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2014高考数学“拿分题”训练数形结合思想在解题中的应用
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2014高考数学“拿分题”训练:数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1.
分析:
,
例2.
解:法一、常规解法:
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
法二、数形结合解法:
例3.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
分析:
出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B)。
例4.
分析:
[来源:学科网]
例5.
分析:
构造直线的截距的方法来求之。
截距。
例6.
分析:
以3为半径的圆在x轴上方的部分,(如图),而N则表示一条直线,其斜率k=1,纵截
例7.
MF1的中点,O表示原点,则|ON|=( )
分析:①设椭圆另一焦点为F2,(如图),
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点,
∴ON是△MF1F2的中位线,
②若联想到第二定义,可以确定点M的坐标,进而求MF1中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。
例8.
分析:
例9.
解法一(代数法):,
解法二(几何法):
例10.
分析:
转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。
解:
第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图)
相切于第一象限时,u取最大值
三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。
四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题:
1. 方程的实根的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 函数的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3. 设命题甲:,命题乙:,则甲是乙成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
4. 适合且的复数z的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
5. 若不等式的解集为则a的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知复数的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 若时,不等式恒成立,则a的取值范围为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]
8. 定义在R上的函数上为
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