4-2-高阶线性方程解一般理论基本解组.doc

4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE) [教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5.介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用. [教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标] 认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5.知道刘维尔公式及其应用. 认识n阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程. 称为n阶齐次线性微分方程; 称为n阶非齐次线性微分方程，其中f(t)为非零函数. 线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n阶非齐次线性微分方程，若都是[a, b]上连续函数，则对和任意n个实数，方程(**)存在满足初始条件的唯一解. 声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky行列式、方程（*）的通解结构 (证明细节参见教材) 叠加原理：设为齐次线性微分方程（*）的解函数，则都是齐次线性微分方程(*)的解. 设都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数使得，则称在区间[a, b]上线性相关，否则则称在区间[a, b]上线性无关. 设都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行列式为这些函数Wronsky行列式. 函数组线性相关的必要条件：设都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky行列式恒为零. 方程（*）解函数线性无关充要条件：设都是定义在[a, b]上方程（*）的解函数，则它们线性无关它们的Wronsky行列式在[a, b]上处处不为零. 若n个函数都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组. 齐次线性方程（*）的通解结构定理：设构成了方程（*）的一个基本解组，则方??（*）的任一解可表为，其中常数由初始条件确定，. 由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n维的线性空间. 非齐次线性方程的通解结构定理 考察非齐次线性方程（**），设为方程（*）的一个特解，为方程（*）的一个基本解组，则方程（**）的任一解可表为，其中由初始条件确定. 例题讲解 例40. 证明函数组在实直线R上线性无关，但它们的Wronsky行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什么？ 解：当时，. 当时，. 这说明Wronsky行列式恒等于0. 考察方程. 当时，上述方程为，得到； 当时，上述方程为，得到. 这说明函数组在R上线性无关. 这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数. 例41. 验证为方程的基本解组，并求出满足初始条件的特解，其中. 解：直接代入验证知，，因此，为方程的两个解函数. 下面验证它们是线性无关的. ，因此，由解函数线性无关判定定理知，是线性无关的. 因此，证为方程的基本解组. 方程的通解为，为任意常数. 由初始条件知，，，解得 ，因此所求特解为. 例42. （1）考察微分方程. 若为方程的任意两个解，则它们Wronsky行列式（常数）. Liouville公式：考察二阶齐次线性方程，其中 . 假设为方程的一个非零解，则(a)函数为方程的解充要条件是,其中. (b) 方程的通解为，其中为任意常数. 已知是微分方程一个特解，试求该方程的通解，并确定函数？ 证明：（1）记，下证. 由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下P124 习题8），我们得到 . 得证. 仿照（1）可证（a） 结论成立. （b）求解方程得到，满足的解. 此时相应的和是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky行列式不为零. 改写为，由再次改写上述方程为 ，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， ，特别地，取C=0得到解函数. 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. 记，由上述公式得到，. 因此，原方程一个基本解组为，于是所求通解为，为任意常数. 将代入原方程得到，，得到. 作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设分别为非