5数值积分与数值微分课件-11.doc

PAGE  PAGE 165 第5章 数值积分与数值微分方法 关于定积分计算，已经有较多方法，如公式法、分步积分法等，但实际问题中，经常出现不能用通常这些积分方法计算的定积分问题。怎样把这些通常方法失效的定积分在一定精度下快速计算出来，特别是通过计算机编程计算出来就是本章研究的内容。 此外，怎样根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。 本章涉及的方法有Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式和数值微分。 5.1 引 例 人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半径为6371km，求该卫星的轨道长度。 本问题可用椭圆参数方程 来描述人造地球卫星的轨道，式中a, b分别为椭圆的长短轴，该轨道的长度L就是如下参数方程弧长积分 但这个积分是椭圆积分，不能用解析方法计算。 5.2问题的描述与基本概念 要想用计算机来计算，应对其做离散化处理。注意到定积分是如下和式的极限 要离散化，做 去掉极限号 将取为具体的值 为减少离散化带来的误差，将用待定系数代替 于是就得到 定义5.1 若存在实数且任取都有 （5.1） 则称式(5.1)为一个数值求积公式。 称为求积系数，称为求积节点;而称 （5.2） 为求积余项或求积公式（5.1）的截断误差。 从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式。 定义5.2 若求积公式对所有不超过m次的多项式有求积余项，而对某一个m+1次多项式有，则称该求积公式的代数精度为m。 一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好。 确定代数精度的方法 依次取代入公式 并验证是否成立。 若第一个使不成立的k值为m，则对应的代数精度为m-1。 例 5.1确定求积公式 的代数精度。 解 取代入求积公式有 易验证 ，但，故本题求积公式代数精度为3。 例 5.2确定下面求积公式 的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。 解 本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。 公式有3个待定参数，h不是求积公式的参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题。 依次取代入求积公式并取等号，有 解之得  QUOTE A=169h , B=43h , C=89 h  故所求的求积公式为 为确定其代数精度，再取代入求出的公式继续计算，有，故所求的求积公式具有二阶代数精度。 5.3 插值型求积公式 借助多项式插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式。 一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。 基本思想 利用被积函数 QUOTE fx 的插值函数 QUOTE φx 代替 QUOTE fx 做定积分的近似计算来构造求积公式。 1.构造原理 考虑 QUOTE fx 在n个节点 QUOTE x1,x2,?,xn 上的n-1次Lagrange插值多项式 QUOTE Ln-1(x) 与 QUOTE fx 的余项，有 这里 QUOTE lin-1x=k=1k≠inx-xkxi-xk, ωnx=k=1n(x-xk) 。 两边取积分,有 记 （5.3） 则有 （5.4） 若舍去，得求积公式 求积系数的求积公式就是插值型求积公式。 插值型求积公式的求积余项 当为次数小于n次的多项式时，有 QUOTE fn(x)≡0 ，对应的。 因此插值型求积公式的代数精度至少为n-1。 若取，代入式(5.4)，可得插值型求积公式的求积系数之和为 下面具体介绍常用的几个插值型求积公式。 2. Newton-Cotes求积公式 1) n点的Newton-Cotes公式的构造 将求积节点 QUOTE xi 取为[a,b]上的等距节点 做积分变量变换: 则当 QUOTE x∈[a,b] 时,有 QUOTE t∈[0,n-1] ,于是有插值型求积公式的求积系数为 记 QUOTE ci(n-1)=1n-10n-1k=1k≠1nt-k+1i-kdt ，则有  QUOTE cin-1 常称为Cotes系数，易验证 通常称 （5.6） 为n点的Newton-Cotes公式。 由于求积节点 QUOTE xi 是等距的，因此也称式（5.6）为等距节点求积公式。 利用可以得出下面常用的Newton-Cotes公式 A) 2 点的Newton-Cotes公式 （5.7） 这正是我们熟悉的梯形公式。 B) 3点的N