《平行线等分线段定理,三角形梯形的中位线》例题精讲与同步练习.doc

PAGE  《平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线》例题精讲与同步练习 本周内容：平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线 本周重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。 推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 二、例题： 例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。 （1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆 解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点； （2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点； （3）平行四边形（当然也就包括了矩???、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； （4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 例2、判断下列说法是否正确： （1）矩形的对边关于对角线交点对称。（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。（ ） （3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。（ ） 解：（1）（4）正确 （2）（3）错误 例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ） ①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③ 例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：① ＊例5、在△ABC中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、CA上，这样的四边形可以作（ ）个 解：如图：因为四边形ADEF是中心对称图形，所以它一定是平行四边形；因为四边形ADEF是轴对称图形，所以它的对角线互相垂直。于是它是菱形。这样的菱形只能作一个。 例6、如图：在四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，ADBC。求证：四边形ABCD是等腰梯形。 法一：延长BA、CA，它们交于点E。 ∵∠B=∠C ∴EB=EC（等角对等边） 又∵AB=CD ∴AE=DE ∴∠1=∠2（等边对等角） ∵∠1+∠2+∠E=180°，∠B+∠C+∠E=180° ∴∠1=∠B ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 又∵AD≠BC,AB=CD ∴四边形ABCD是等腰梯形（等腰梯形定义） 法二：作AF∥CD交BC于F，则 ∠3=∠C（两直线平行，同位角相等） 又∵∠B=∠C ∴∠B=∠3 ∴AB=AF（等角对等边） ∴AF=CD ∴四边形AFCD是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴AD∥BC（平行四边形的对边互相平行0 又∵AD≠BC,AB=CD ∴四边形ABCD是等腰梯形（等腰梯形定义） 例7：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=5，则腰CD的取值范围是__________。 要求一条线段的取值范围，通常应当把这条线段放到一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来求得取值范围。 如图，作DF∥AB交BC于F，则得到平行四边形ABFD 从而求得DF=4，BF=3，CF=2 在△CDF中，4－2CD4+2 即：2CD6 例8：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1cm，BC=5cm，∠B=60°，∠C=30°。 求：（1）AB、CD的长；（2）梯形ABCD的面积。 解：（1）如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则∠AEB=∠AEF=90°，∠DFC=90° ∴AE∥DF（垂直于同一直线的两条直线平行） 又∵AD∥BC ∴四边形AEFD是平行四边形（平行四边形的定义） ∴四边形AEFD是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形） ∴AE=DF，EF=AD=1cm 设BE=x 在Rt△ABE中，∵∠B=60° ∴∠BAE=90°－∠B=30°（直角三角形两锐角互余） ∴AB=2BE=2x（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 又∵AB2=AE2+BE2（勾股定理） ∴AE=x ∴DF=x 在Rt△DFC中，同理可得CD=2x，CF=3x ∴BE+EF+CF=x+1+3x=5 ∴x=1 ∴AB=2cm，CD=2，AE= （2）SABCD== 当然，这个题目也可这样作辅助线： 如图，作AG∥CD交BC于G，从而得到一个平行四边形和一个直角三角形。 三、训练题： 1、下面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） （A）平行四边形 （B）菱形 （C）等边三角形 （D）等腰梯形 2、下列命题