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学然教育 学然教育培训中心 LearnWell?Education?and?Training?Center 上海十年中考数学压轴题解析 2001年上海市数学中考 27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． 图8 ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC． ②解：设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1??4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴．即，得，1＜x＜4． ②AP＝2或AP＝3－． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 　27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 　　探究：设A、P两点间的距离为x． 　　（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； 　　（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； 　　（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． 　　（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 　　27． 图1 图2 图3 ??（1）解：PQ＝PB　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分） 　　证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）． 　　∴　NP＝NC＝MB．　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分） 　　∵　∠BPQ＝90°，∴　∠QPN＋∠BPM＝90°． 　　?而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴　∠QPN＝∠PBM．　　　……………………（1分） 　　又∵　∠QNP＝∠PMB＝90°，∴　△QNP≌△PMB．　……………………（1分） 　　∴　PQ＝PB． 　　（2）解法一 　　由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP． 　　∵　AP＝x，∴　AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－， 　　∴　CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－． 　　得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．　………………（1分） 　　S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2　　（1分） 　　S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1． 　　即　y＝x2－＋1（0≤x＜）．　　　　　　……………………（1分，1分） 　　解法二 　　作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形． 　　∴　PT＝CB＝PN． 　　又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN． 　　S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN　…（2分） 　　????＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1 　　∴　y＝x2－＋1（0≤x＜）．　　　　　　　　……………………（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形 　　①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形， 　　?此时x＝0