【数学】江苏省无锡市洛社高级中学20112012学年高二下学期期中考试试题（理）（苏教版选修23）.doc

知识改变命运，学习成就未来 联系方式 QQ:1365602590 邮箱：zxjkw@163.com 第  PAGE 8 页 共  NUMPAGES 8 页 江苏省无锡市洛社高级中学2011-2012学年高二下学期 期中考试数学（理）试题 注意事项： 1．本试卷共有4页，分为填空题和解答题，共20道小题． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号写在答题卷的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． 若复数满足 ，(为虚数单位)，则的虚部为 ▲ ． 2. 已知向量与向量平行，则 ▲ ． 3． 若，则 ▲ ． 4．已知二项分布满足X～B（3， ），则(X=2)= ▲ ．（用分数表示） 5．曲线在点（0,1）处的切线方程为 ▲ ． 6．若(i是虚数单位)，则正整数的最小值是 ▲ ． 7．从3名男生和2名女生中选出2名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 ▲ 种．（用数字作答） 8．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数图像如下图所示，若，则的取值范围为 ▲ ． 9．若随机变量的分布表如表所示，则 ▲ ． 10．函数，在时有极值10，则-= ▲ ． 11．利用数学归纳法证明“ ” 时，从假设推证成立时，可以在时左边的表达式上再乘一个因 式，多乘的这个因式为 ▲ ． 12．设为奇数，则除以9的余数为 ▲ ． 13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，， 则 ▲ . 14．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则实数 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题15分）已知复数，为虚数单位，. （1）当复数纯虚数，求的值； （2）当复数在复平面上的对应点位于第二、四象限角平分线上，求的值； （3）若，求. 16．（本小题15分）在的展开式中，已知第三项与第五项的系数相等． （1）求展开式中的系数最大的项和系数最小的项； （2）求展开式中含项的系数． 17．（本小题15分）某次考试共有8道选择题，每道选择题有四个选项，只有一道是正确的，评分标准为：“选对得5分，不选或选错得0分。”某考生已确定有5道题的答案是正确的，其余3道题中，有一道题可以判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道是乱猜的，试求该考生 （1）得40分的概率； （2）所得分数的分布及期望． 18. （本小题15分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线 上，且满足. （1）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？ P N M A B C （2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置. 19．（本小题15分）若，（、）. （1）求的值； （2）求证：数列各项均为奇数. 20．（本小题15分）已知，函数． （1）求的单调区间和值域； （2）设，若，总，使得成立，求的取值范围； （3）对于任意的正整数，证明：． 2011—2012学年第二学期高二期中考试数学（理科） 参考答案及评分标准 填空题 二．简答题 解答题有不同解法请酌情评分 15．解：（1）由题意得，当时，是纯虚数；……5分 （2）由题意得，解之得或 ……………………10分 （3） ………………15 分 16．解：由已知得 ……………………2分 （1）的通项 当时，展开式中的系数最小， 即为展开式中的系数最小的项；…………………………………6分 当时，展开式中的系数最大，即为展开式中的 系数最大的项 ………………………10分 （2）展开式中含项的系数为． ………………………15分 18．解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，则，平面ABC的一个法向量为…………2分 则 …………………5分 于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，.…………………7分 （2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，. 由得 ，…………………9分 解得.…………………10分 令于是由 ，……………13分 解得的延长线上，且.…………………15分 （2）证：由数学归纳法（i）当时，易知，为奇数； （ii）假设当时，，其中