南京航空航天大学0708矩阵论试卷(A).doc

矩阵论 南 京 航 空 航 天 大 学 研究生考试试卷 共 5 页 第 1 页 一、（20分）设矩阵， （1）求的特征多项式和的全部特征值； （2）求的行列式因子、不变因子和初等因子； （3）求的最小多项式，并计算； （4）写出的Jordan标准形。 二OO 七 ～二OO 八 学年 第 一 学期《 矩 阵 论 》课程 考试日期: 2008年1月16日 试卷类型 A 课程编号： A000003 学院 学号 姓名 成绩  共 5 页 第 2 页 二、（20分）设是实数域上全体实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。 （1）求的维数，并写出其一组基； （2）设是全体实对称矩阵的集合， 证明：是的子空间，并写出的维数和一组基； （3）在中定义内积，求出的一组标准正交基； （4）给出上的线性变换： 写出线性变换在（1）中所取基下的矩阵，并求的核和值域。  共 5 页 第 3 页 三、（20分） （1）设，求，，，； （2）设，令， 证明：是上的矩阵范数并说明具有相容性； （3）证明：。  共 5 页 第 4 页 四、（20分）已知矩阵，向量， （1）求矩阵A的分解； （2）计算； （3）用广义逆判断方程组是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。  共 5 页 第 5 页 五、（20分） （1）设矩阵，其中为实数， 问当满足什么条件时, 成立？ （2）设阶Hermite矩阵，其中， 证明：。 （3）已知Hermite矩阵，，证明：正定  共 页 第 6 页  共 页 第 7 页  共 页 第 8 页