南开大学2010年数学分析参考解答.doc

PAGE  PAGE 7 2010年南开大学数学分析考研试题(回忆版) 1、求极限：（15分） 2、求曲面积分 ，其中S是曲面被截得的有限曲面。（20分） 3、求重积分，其中D是 (0pq,0ab, ) (20分) 4、求级数和:(15分) 5、判断级数的敛散性和绝对收敛性.(15分) 6 、(1)已知f(x)在闭区间[a,b]上连续，成立 求证：[a,b]内存在一点c ，使得f(c)=c (2)判断是否存在这样一个R上的连续函数f（x），使有理数的函数值为无理数， 无理数的函数值为有理数。 (共20分) 7、已知f（x）在[0,1]内二阶可导，且f(0)=0,f(1)=3，, 求证：存在一点c属于(0,1)，满足 (15分) 8、已知f(x)在[a,b]内二阶连续可导，且满足 设, 求证： (15分) 9、设对一切（）在上可积，且， 证明：。 南开大学2010年数学分析考研试题解答 1、解 ， ， ， 故 。 2、解 所截得的曲面为：，， ； ； 。 3、求积分，是位于这一卦域内，且由下列曲面所围成的区域：， ． 解 作变换；则, 且， , 于是 ; 4、解 ， ， ，（）； 代入计算，即得 。 或者 ，（） 于是。 5、解 由于， 所以当时，级数收敛，且是绝对收敛的； 当时，级数条件收敛； 当时，级数发散。 6、证明 （1）令，由条件，可知，， 利用连续函数的零点定理，得存在使得，。 （2）这样的函数不存在。 设函数。 若在有理点上取无理数值，在无理点上取有理数值，则不是上的连续函数。 证明 用反证法 假若是上的连续函数。一方面，由题设条件，知是上非常值函数的连续函数，所以的值域是一个区间，是不可数的； 另一方面， 由于有理点是可数的，其上的函数值集是至多可数的，函数取有理数值的函数值集也是至多可数的，从而是至多可数的； 这两者是矛盾的，所以，假设不成立。结论得证。 7、证明 函数在内必取得最小值, 且最小值不可能在区间端点处取得, 因此, 不妨设, 是函数的最小点，则. 考虑在处对作泰勒展开 , 。 将代入，则有 , ; , , 从而，， 当时，有； 当时，有， 故存在，使得。 8、证明 ???在上连续及，知在上必变号， 存在，使得 由，得 。 例 已知f(x)在[a,b]内二阶连续可导， 设, 求证 证明 , , , 故. 9、证明：由， 由题设条件，得在上有界，设，， ，，， 于是关于是一致收敛的， 又在上一致收敛（任意）。 利用控制收敛定理，得 。