南开大学2002年数学分析参考解答.doc

PAGE  PAGE 4 南开大学2002年数学分析考研试题 计算三重积分，其中为由及所围成. 设为抛物面位于，之间的部分，取外侧， 求. 设收敛，，证明收敛. 设于内一致收敛，且，，证明收敛. 设于区间上一致连续，，，且收敛， 证明 也收敛，问若将于区间上一致连续改为于区间上连续，上述结论是否仍成立？说明理由. 设于，(为实数)上连续，且，， 证明：于上有最大值，问于上是否必有最小值？ 说明理由. 证明于上连续. 南开大学2002年数学分析考研试题解答 1.解 采用柱坐标变换 . 解 设， 利用高斯公式， . 证明 由，及条件，利用Abel判别法，即得结论. 4、设是一个点集，是的一个极限点（可以是有限点，或）。 如果在上一致收敛于，且，； 则收敛，收敛，且。 证明 证明方法是完全仿照分析中的三段论不等式证法。设???；由在上一致收敛，得，对,,当时,不等式 ,对，都成立;在上式中令，取极限，得，于是得是基本列，从而收敛，设; 由在一致收敛于，及，得，对,,使得不等式 ,,对成立; 再由，存在的邻域(当为有限时,指的是去心邻域;当为无限时,指的无穷远邻域)，当时，便有； 于是，对上述，存在的邻域，当时，便有 ， 即得，故结果得证。 证明 由于在上一致连续， 对任意，存在，当，时， 有， 由收敛，知 对上述，存在正整数，当时， 有， 于是有， 即是Cauchy序列，所以收敛. 若在上连续，，收敛 ，未必有收敛， 例如，，， 显然收敛，但是不收敛. 证明 由，知， 存在，当时，有， 即得在上有界， 又在上连续，有界， 在上有界， 设，则， 若，结论显然成立， 下设，在由，存在，当时， 有， 所以，故在上达到最大值， 在上未必达到最小值， 例如 ，， 尽管在上连续，，，但在上达不到最小值. 证明 因为 ， 所以，在上连续， 对每一个，存在， 当，时， ， 而收敛，关于一致收敛， 在上连续， 所以在上连续，在处连续， 由的任意性，在上连续.