南开大学2008年数学分析参考解答.doc

PAGE  PAGE 6 南开大学2008年数学分析考研试题 一．计算题 1．求极限 。 2．求和 。 3．已知，求？ 4．设，则？ 5．设区域，求 。 二．设，，证明数列收敛，并求其极限。 三．设，并且，，使，证明，使得. 四．设在一致连续，且广义积分收敛，求证。 五．设在上可微，对任意，， ， 其中，任取实数，，， 证明级数收敛。 六．证明函数项级数，（1）在上收敛，但不一致收敛； （2）和函数在上任意次可导。 七．作变换，，，将方程变换为关于自变量方程。 八．求由曲面将球体分成两部分的体积之比。 九、设是上具有二阶连续导数的正函数，且，， 在上有界，则。 南开大学2008年数学分析考研试题解答 一、1、解 ； 2、解 ； 3、解 由已知， 得，把上式代入， 有 ， ， 所以 4、解 ， ，， 所以 。 5、解、由区域关于设区域轴对称，被积函数关于是偶函数，所以 。 二、证明 显然有，，; ，； 从而是压缩型迭代序列, 于是得是收敛的，设，显然； 在两边，令取极限得到，所以； 故. 三、证明 方法一 由条件可知,任取,存在,满足,存在,满足,这样继续下取,得到存在,满足;进而;存在子列及,使得收敛于 ; 在利用在处连续及,即得,,结论得证. 方法二 由于在上连续,设,利用条件可知,对任意, 存在,满足,从而由,; 进而有,;存在,使得;结论得证. 四、证明 由在上一致连续，得，对，， 当，且时，便有； 由于收敛，则有，由积分平均值定理，存在，使得，于是有， 对上述，存在，当时，便有； 取，对任意，必存在正整数，使得， ，故得 . 五、证明 设 ，由题设条件，知连续、可导，且， 从而，，就是熟知的压缩迭代列， ， 从而 由于，收敛， 故级数收敛。 六、证明 设， 因为，所以在上收敛； 任意，当时，有， 而收敛，所以在上一致收敛； 不趋向于零， 所以在上不一致收敛； 对任何， 存在，使得 显然，在上一致收敛， 在上连续， 在点处连续。 由于是上的任意点，所以函数在上连续。 （2），， 对每一正整数，显然在上内闭一致收敛， 且在上连续，； 故在上有任意阶的连续导数??? 七、解 ，求偏导数，并求复合函数的偏导数，代入计算，适当化简，即得。 ，， ， ， 八、解 球体为， 球体的体积； 两曲面的交线为， 设， ， ， 所以 。 九、 证明 先证存在，由，，可知在上是单调递减的，且有下界为0，根据单调有界原理，存在， 由在上有界，可知在上一致连续， 我们已经知道，若存在，在上一致连续，必有， 结论得证。