南开大学2009年数学分析参考解答.doc

PAGE  PAGE 9 南开大学2009年数分考研试题 计算，其中由，，围成. 计算. 计算，为与所交，，从点到的部分，其中为正的常数。 求的收敛域与和函数. 求的表达式. 若收敛，在上单调下降，求证. 设在内有二阶导数，，， 证明：存在，使得在内. 设在的邻域内存在连续的三阶偏导数，并且所有三阶偏导数的绝对值不超过常数，与关于对称，并且与的距离为，为由指向的方向， 试证： . 证明：若，，则 . 利用这一结论，分析DAlembert判别法与Cauchy判别法二者在判别正项级数的敛散时的关系，可以获得怎样的经验. 南开大学2009年数学分析考研试题解答 解 记， ， ， . 解 ， . 解 ， ， ，， . 解 设， 对，有， 当时，收敛； 当时，发散； 当时，发散， 所以原幂级数的收敛域为， ， ， 于是，. 解 奇点为，与， 在的邻域内，被积函数与同阶，在的邻域里，与同阶，因此原积分收敛， （2） 而，对于任意， 且收敛， 故积分（2）关于一致收敛， 被积函数，以及它对参数的倒数的连续性明显， 因此 ， 显然， . 六、证明 因为收敛， 所以当时，有，， 由为单调下降函数， 得 ， ， 于是， 从而得，即当时，。 证明 对任意，当时，有 ， 从而有 所以有， 又 ， 于是有，， 必有，即，， 由得任意性，得，. 证明 设的方向为， 则 ， ，， 设， 利用泰勒展开，得 ，， ， ， ， 利用所有三阶偏导数的有界性条件，得 ， 综合以上所得等式及估计，就得到 . 注： ， ，，， ， ， ， ， . 九、(1)设数列满足条件，且（）， （其中为有限数，或），则 ; (2) 设数列满足条件（），且， （其中为有限数，或），则 ; 证明 (1) 因为（），所以有，从而成立 ， 利用 ，， ， 再从不等式， 利用极限的夹逼定理，即得出成立 。 (2).证明 令，（），由条件，得，且， 显然，利用(1)的结果可知， 故 。 反之不真。 （3）定理（柯西判别法的极限形式，也称为根???判别法） 设对所有，有，且 ，（） 那么 当时，收敛； 当时，发散； 当时，的敛散性不能判定，须进一步用其它方法判定. 定理9.13(达朗贝尔判别法的极限形式，也称为比值判别法) 设，， 如果，那么； 如果，那么； 当时， 级数的敛散性不能判定，须进一步判定. 由此可知，凡是能用达朗贝尔判别法的极限形式去判定的级数的敛散性一定也可以用柯西判别法的极限形式去判定级数的敛散性。