2016暑期綜合實训编程实验问题.doc

综合编程实验问题 第一章 常微分方程问题求解 第1节 ODE45求解初值问题 1. 基于数学建模中的传染病模型，应用ODE45求解传染病SIR问题， 在同一图中画出i(t)和s(t)随t变化的曲线。对于不同的初始条件，在相平面中画出三条相轨线。 2. 基于数学建模中的种群竞争模型，种群依存模型和食饵捕食模型，应用ODE45求解模型，在时间空间和相平面上画出种群变化的图像，分析稳定点的稳定性。 第2节 编程计算ODE初值问题 1。编一个用Euler方法解 的程序，使之使用于任意右端函数，任意步长和任意区间。用分别计算初值问题 在结点打印出问题的精确解（真解为。计算近近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要） 2.编一个与上题同样要求的改进Euler法的计算程序，的初值用Euler方法提供，迭代步数为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个绍果加以比较。 3。编一个程序用Taylor级数法求解问题 取Taylor级数法的截断误差为，即要用的值 [提示：可用一个简单的递推公式来获得 4。用四阶古典方法（或其他精度不低于四阶的方法），对时的标准正态分布函数 产生一张在之间的80个等距结点（即）处的函数值表。 [提示:寻找一个以为解的初值问题］。 5。（一个“刚性”的微分方程）用四阶方法解初值问题： 取。每隔8步打印出数值解与真解的值（），画出它们的大致图象，并对产生的结果作出解释。[提示:当初值时，方程的真解为] 6.分别用Adams二步和四步外插公式，用求解。 将计算结果与真解进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。 7。用Adams二步内插公式预测、Adams四步外插公式校正一次的预-校算法重新求解上题的方程、将结果与上题作比较．并解释产生差异的原因。 8。对（1.3）式所示的Lotka-Volterra“弱肉强食’模型，令 ，，即 （l）取，用任过一种精度不低于三阶的办法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出的图像及关于的图像。 （2）对解这同一个模型．分别画出关于的函数图象。 （3）讨论所获得的结果并分析原因。[提示:注意平面上的点（3，2）、它被称为平衡点) 第3节 常微分方程边值问题 1.调用函数bvp4c 求解MATLAB的的5个例子，分析把高阶方程变为等价的一阶方程组的方法，剖析程序，总结编程求解过程。 2.取和，计算以下两点边值问题的差分解，并与精确解比较 （1） ，精确解： （2） ，精确解： 精确解：。 （3） ，精确解： 并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有此小的原因。 §5 数值方法（英文版）习题和实验项目 （ODE 数值解，9.1.3 习题） 16．考虑一阶微分方程 证明：一般解可用两个特殊积分求出。首先定义如下： 然后，定义为 提示：对乘积求导。 17．考虑放射物的衰减。如果是t时刻放射物的量，则将逐渐减少。实验表明，的变化率与未衰减物质的量成正比。于是放射物衰减的初值问题为 (a)证明其解为。 (b)放射物质的半衰期是初始物质衰减一半所需的时间，14C的半衰期是5730年。请给出求t时刻14C的量的公式。提示：求k使得. (c)分析一块木头后知，其中的14C的量是树木活着时的0.712，该木头样本的年代有多久? (d)在某个时刻，一种放射物质的量为10mg，23 s之后，该物质只剩1mgg。该物质的半衰期为多少t 在习题18和习题19中，推导初值问题的方程并求解。 18·一个新的职业足球联赛的年度售票量计划以正比于t时刻的销售量和上限3亿美元之差的速度增长。假设最初的年售票量为0美元，并且必须在3年后达到4000万美元(否则联赛取消)。基于这些假设，年销售量需要多久能达到2200万美元? 19．一个新图书馆的内部容量为5百万立方英尺。通风系统以每分钟4．5万立方英尺的速度引入新鲜空气。在通风系统打开之前，图书馆内部的二氧化碳和外面新鲜空气中的二氧化碳量分别为0. 4％和0 .5％。求通风系统打开2小时之后图书馆中的二氧化碳百分比. 9.2 欧拉方法 7．汪明当用欧拉方法求解上的初值问题 时，结果为，它是逼近区间上的定积分的黎曼(Riemann)和。 8．说明欧拉方法不能求初值问题： 的近似解。证明你的结论，其中遇到了什么困难? 9．能用欧拉方法求解[0，3]上的初值问题 吗?提示：精确解为。 p-7·指数种群增长。某一种群以正比于当前数量的速度增长，且遵循[O，5]上的初值问题 (a)应用公式(10)，求出y(5)的欧拉逼近，步长为h=1，h=1/12和h=1/360. (b)(a)中当h趋下0时的极限是什么? p-8.一名跳伞运动员自飞机上跳下，降落伞打开之前的空气阻力正比于(v为速度)。设时间区间为[O，6]