第2章数学研究的一般方法.pptVIP

第二章 数学研究的一般方法; 数学研究的一般方法，就是指数学研究过程中的基本方法。它们是：①观察法与实验法；②划分与比较；③分析与综合；④抽象与概括；⑤一般化与特殊化。在数学教学中恰当地运用这些方法，将有助于提高教学质量，也有助于培养学生良好的数学素质。;§1 观察法与实验法;（二）观察法的作用 1．在数学中，通过观察不仅可以收集新材料，发现新事实，获得新知识，而且常常还可以促使数学的发现和理论的创新。 2．在数学教学中，观察具有重要的作用。通过观察既可深入了解事物的本质，有助于数学概念的形成，也可把握事物间的关系，有助于数学命题的发现。 3．对于数学解题教学，通过观察可发现已知与未知或结论之间的联系，从而实现解题思路的突破，有助于迅速而且正确地找到解题方法。;;; ;;二、实验法 （一）实验法的含义 一般来说，实验就是按照科学研究的目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，人为地设置条件，来引起或控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。 实验总是和观察相联系的，观察常常可用实验作基础，而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。实验法也是解决某些数学问题的有效方法。;（二）实验法的作用 1．具有简化和纯化数学对象的作用。 2．具有强化数学对象的作用。 3．具有重复再现研究对象的作用。;;;例2　证明平面几何中的“三角形内角和定理”． 教师在讲授此定理时，一般可通过定量实验引导学生发现这一定理，如用量角器测量三角形内角并求和．也可以用割补法．用纸片剪下一个三角形，然后“撕下”两个角，并将它们拼在另一个角的顶点处，这样三角形的三个内角就可结合在一起形成一个平角。; 这个实验不仅帮助我们建立命题，而且还提供了一种证明此命题的方法。 在以上问题的解题过程中充分显示出实验法的重要作用。 通过观察、实验的途径，我们可以获得各种各样的经验材料，这是我们发现数学真理的基础。;§2 划分法与比较法;（一）划分法的标准、意义及规则;1．对概念的划分;（1）划分的几种形式 ①一次划分；②连续划分；③复分；④二分法 通过对概念进行划分，可以帮助学生把所学的知识系统化，正确地理解各个概念之间的关系，划分也可以作为对于某些类型问题的推理分析方法。 对概念进行划分，除了要掌握划分的方式外，还必须遵守划分的要求（规则）。 （2）划分的基本要求 ①划分必须是相称的；②划分的各子项之间的关系必须是不相容关系；③每一次划分必须按同一标准进行；④划分不能越级; 2．对对象的划分;（二）举例;;运用分类思想可以得到解题的一个重要工具――抽屉原则．;;;二、比较法;在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用，“有比较才能有鉴别”，通过比较，可以从思想上把握现实世界对象的本质特征和非本质特征，反映客观事物相互对立又相互联系而存在的实际情况，达到正确认识事物的目的。正如俄国教育家乌申斯基（K.Д.УШИНСКИЙ）所说：“比较是一切理解和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世界上的一切的，如果我们面前出现某种新的东西，我们既不能拿它去同什么东西比较，又不能把它同什么东西区别开来……那么，我们就不能对它形成一种思想，也不能对它说出一句话来。”;（二）数学解题中的比较方法; （1）作差法 量值大小比较的基本思想是： 　　;例3 求证：周长相等的圆与正方形中，以圆的面积为大。;;（2）作商法;;;;§3 分析法与综合法;（一）分析法的含义;例如，我们在研究数的概念时，把实数分为有理数和无理数，又把有理数分为正数、零和负数，再把正数分为正整数（自然数）和正分数来逐一研究，从而认识各种数的实际意义及其运算等，这种研究方法就是分析法。 而在数学中，分析还特指从结果（或结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。有时候，我们又把分析看成是主要从数量方面研究客观事物的性质的研究方法。在中学数学中，关于解题途径和方法的说明，也叫“分析”。; （二）分析和逆推;如果每一步分析是从结论出发寻求其成立的充分条件，则这种方法称为逆求法。其思维过程的主干可表示为： ;;; 由以上例题可以看出，在分析过程中，分析思路是十分重要的．只要有了正确明晰的分析思路，就可以按照分析法的推理模式，逐步将分析过程写出来，同时也就完成了分析证明．;（三）分析法的作用;二、综合法;所以分析的终点就是综合的起点。综合是以已知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求未知的思考方法，即由因导果法。综合思维是一种侧重于整理性的思维，是数学中表达求解、论证过程的基本方法。但是综合并不是分析结果的简单相加，由于研究对象各部分或各方面性质的有机联结，往往会发现许多新的联系和性质，因此它并不排斥发现性的一面。;;此题用综合法探索时，其思路可表示如