05时间序列号信模型.ppt

§1.5 时间序列的信号模型 1.5.1 时间序列信号模型的概念; 这里信号模型的输入-输出关系满足下列 阶差分方程: 或者写成 （1.5.1） 式中, 系数 . 是均值为零,方差为 的白噪声序列, 是我们要研究的平稳随机序列. 系统函数可由式(1.5.1)的z变换得到: （1.5.2） ;其中 ； 另一方面, 由于输入-输出自相关函数的关系为 (1.5.3) 式中, 为系统的冲激响应函数. 上式的z变换为 令 , 同时考虑到 , 得到 的功率谱为 (1.5.3) ; 由以上分析可知, 随机序列 的自相关函数和功率谱均与信号模型 参数(阶次和系数)有关, 因此可采用这些模型参数来估计 和 信号模型法是一种研究平稳随机序列的有效方法. 由于该模型是一 种线性模型, 它具有连续功率谱特性, 因此在功率谱估计方面, 显示出 很大的优越性. 1.5.2 三种时间序列信号模型 根据方程中系数取值的情况, 信号模型分为以下三种. 1.滑动平均模型(Moving Average, 简称MA模型) （1）差分方程与系统函数 若 ,其它 , 则模型差分方程为 (1.5.5) 系统函数 (1.5.6) ;2.特点 ●全零点模型(MA模型): 只存在零点,没有除原点以外的极点; ●若全部零点都在单位园内, 该系统则为最小相位系统, 且模型是可逆 的. 2.自回归模型(Auto-Regressive, 简称AR模型) （3）差分方程与系统函数 若 , , 其它 , 则模型差分方程为 (1.5.7) 系统函数 (1.5.8) ;（4）特点 ●全极点模型(AR模型): 只存在极点,没有除原点以外的零点; ●若全部极点都在单位园内, 模型才是稳定的. 3.自回归-滑动平均模型(简称ARMA模型) （1）差分方程与系统函数 若 , ,而其它所有 与 都不为零, 则模型的差分方程表 示为: (1.3.9) 系统函数 (1.3.10) ;（2）特点 ●极点-零点模型(ARMA模型); ●分子部分称为MA部分; 分子部分称为AR部分, 应分别满足稳定性和可 逆性条件.;1.5.3 三种时间序列信号模型的适应性;[举例] 【1】假定 模型为 求与其等价的AR模型. 解: 令 表示后移算子, 即 , , , ? 于是 模型可表示为 其中 , 设与 等价的AR模型为 ;则 即 可得 ,? 由上可见, AR模型参数 数目是无限的, 它们的绝对值按一幂 级数减少, 即 ;其中 等价的AR模型具有无限阶数, 但其参数 是按幂级数递减, 故应选择 合适的有限价 处截断, 即用 模型近似. 【2】设一 模型为 求与其等价 的模型. 解: 方法同上, 结果如下: 【3】假定 模型为 ， 求与其等价的AR模型. ;解: 方法同上, 结果如下: 因此, 由于 , 故 模型参数 按幂级数 减少, 愈近于零, 减 少愈快; 而 愈近于1, 减少愈慢.;1.5.4自相关函数,功率谱与时间序列信号模型的关系; 则 令 ,得到 这就说明有理谱信号的功率谱是 或者 的有理函数. 2.谱分解定理 （1）定理 如果功率谱 是平稳随机序列 的有理谱, 则一定存在一个零极 点均在单位园内的有理函数 (1.3.12) ;满足 , 式中, , 都是实数, ,且 , . 解释: ●根据谱分解定理, 若已知功率谱(或自相关函数), 就一定能唯一地求 出等价的信号模型; ●谱分解的约束条件是, 分解出的模型系统函数的零、极点必须都在单 位园内部, 这就保证了谱分解的唯一性. ●按谱分解定理分解得到的 一定是最小相位系统, 因而模型具有可逆 性(即必存在逆系统).;1.5.5例题;b) —— 零点 ,极点 c)