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05时间序列号信模型
§1.5 时间序列的信号模型 1.5.1 时间序列信号模型的概念; 这里信号模型的输入-输出关系满足下列 阶差分方程:
或者写成
(1.5.1)
式中, 系数 . 是均值为零,方差为 的白噪声序列,
是我们要研究的平稳随机序列.
系统函数可由式(1.5.1)的z变换得到:
(1.5.2)
;其中
;
另一方面, 由于输入-输出自相关函数的关系为
(1.5.3)
式中, 为系统的冲激响应函数. 上式的z变换为
令 , 同时考虑到 , 得到 的功率谱为
(1.5.3)
; 由以上分析可知, 随机序列 的自相关函数和功率谱均与信号模型
参数(阶次和系数)有关, 因此可采用这些模型参数来估计 和
信号模型法是一种研究平稳随机序列的有效方法. 由于该模型是一
种线性模型, 它具有连续功率谱特性, 因此在功率谱估计方面, 显示出
很大的优越性.
1.5.2 三种时间序列信号模型
根据方程中系数取值的情况, 信号模型分为以下三种.
1.滑动平均模型(Moving Average, 简称MA模型)
(1)差分方程与系统函数
若 ,其它 , 则模型差分方程为
(1.5.5)
系统函数
(1.5.6)
;2.特点
●全零点模型(MA模型): 只存在零点,没有除原点以外的极点;
●若全部零点都在单位园内, 该系统则为最小相位系统, 且模型是可逆
的.
2.自回归模型(Auto-Regressive, 简称AR模型)
(3)差分方程与系统函数
若 , , 其它 , 则模型差分方程为
(1.5.7)
系统函数
(1.5.8)
;(4)特点
●全极点模型(AR模型): 只存在极点,没有除原点以外的零点;
●若全部极点都在单位园内, 模型才是稳定的.
3.自回归-滑动平均模型(简称ARMA模型)
(1)差分方程与系统函数
若 , ,而其它所有 与 都不为零, 则模型的差分方程表
示为:
(1.3.9)
系统函数
(1.3.10)
;(2)特点
●极点-零点模型(ARMA模型);
●分子部分称为MA部分; 分子部分称为AR部分, 应分别满足稳定性和可
逆性条件.;1.5.3 三种时间序列信号模型的适应性;[举例]
【1】假定 模型为
求与其等价的AR模型.
解: 令 表示后移算子, 即
, , , ?
于是 模型可表示为
其中
,
设与 等价的AR模型为
;则
即
可得
,?
由上可见, AR模型参数 数目是无限的, 它们的绝对值按一幂
级数减少, 即
;其中
等价的AR模型具有无限阶数, 但其参数 是按幂级数递减, 故应选择
合适的有限价 处截断, 即用 模型近似.
【2】设一 模型为
求与其等价 的模型.
解: 方法同上, 结果如下:
【3】假定 模型为
,
求与其等价的AR模型.
;解: 方法同上, 结果如下:
因此,
由于 , 故 模型参数 按幂级数 减少, 愈近于零, 减
少愈快; 而 愈近于1, 减少愈慢.;1.5.4自相关函数,功率谱与时间序列信号模型的关系;
则
令 ,得到
这就说明有理谱信号的功率谱是 或者 的有理函数.
2.谱分解定理
(1)定理
如果功率谱 是平稳随机序列 的有理谱, 则一定存在一个零极
点均在单位园内的有理函数
(1.3.12)
;满足
,
式中, , 都是实数, ,且 , .
解释:
●根据谱分解定理, 若已知功率谱(或自相关函数), 就一定能唯一地求
出等价的信号模型;
●谱分解的约束条件是, 分解出的模型系统函数的零、极点必须都在单
位园内部, 这就保证了谱分解的唯一性.
●按谱分解定理分解得到的 一定是最小相位系统, 因而模型具有可逆
性(即必存在逆系统).;1.5.5例题;b) —— 零点 ,极点
c)
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