直线及平面复习一.doc

Xupeisen110 高中数学 第  PAGE 6 页 共  NUMPAGES 6 页 直线和平面复习（一） 教学目标 1．配合系统复习，进一步培养空间想象力； 2．借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识，解决立体几何问题． 教学重点和难点 1．空间想象力的培养； 2．分析问题能力与综合运用知识能力的培养． 教学设计过程 师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来．也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理．在此一并提出表扬．我们将把这些总结用展板展示，请同学们互相学习． 师：本节课我们将通过一组问题来进行复习．复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力． 关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习，关于线面的各种位置关系及性质研究的深入，单纯的想象力就转化为：在线面各种位置关系的定义、性质定理指导下的想象． 请先看下面一组题目： 填空题： 1．空间三个平面可能将空间分成______部分． 2．正方体各个面所在的平面将空间分成______部分． 3．与空间四个点距离相等的平面有______个． *4．A，B，C，D是空间不共面的四点．它们到平面α的距离比（依次）为：2∶1∶1∶1，满足条件的平面α有＿＿个． 生：第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分． 师：请你画图说明你的观点． 生：（作图） 师：很好，图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成4，6，7，8部分． 生：第2题答案是27． 师：你给同学们解释一下，答案为什么是27． 生：（手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正方体，它的上底面与下底之间被分成9部分．同样，上底面上边与下底面下面也各被分成9部分．总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分． 师：对于第3小题，需要先证明下面的命题：线段AB与平面α相交，若AB中点C在平面α上，则点A、点B到平面α的距离相等． 生A：本题的答案为4，因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面，根据老师刚介绍的引理，可以证明这样的截面符合条件．（如图5） 生B：还有一种情况．刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧，另外一个点在另一侧．我想所作平面两侧各有2个点．如图6．这类平面共有3个，即V，A两点在平面同侧；V，B两点在平面同侧；V，C两点在平面同侧． 师：刚才两名同学讲的都很好，相互补充，符合条件的平面共有7个．同学们有不同意见吗？ …… 师：刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目要求的平面有无数个．只要与四点所在平面平行的平面都符合要求． 生：老师，如果这四个点共线呢？ 师：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案应该是7个或无数个．分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用，此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论． 我们继续讨论第4题． 生：我认为仿照第3小题的解答，可提出下面引理：若点A、点B 师：他的猜测是正确的．这个命题的正确性请同学们课下论证．下面我们讨论第4小题的解法． 生A：分别延长AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如图7，则平面α就是平面B1C1D1． 生B：分别在AB，AC，AD上取点B′，C′，D′，使得： 师：分别取BC，CD，DA的中点E，F，G．那么经过EG的任何一个平面都满足：它与B，C，D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B′或经过C′D′（因为C′D′∥CD∥GE）的平面符合题目要求．（图8） 经过EG有两个平面符合题意．同样，经过EF，FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求． 师：问题5．是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考． …… 生A：我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形．如图? 9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°． 生B：我曾经证过生A所给的图中，△ABC是锐角三角形． 师：根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到；三个直角顶点不能是同一个点！ 构造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再构造∠ACB=90°，同学们不难证明∠VCB=90°． 生：是根据三垂线定理． 师：空间想象力在不同时期有不同要求．上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作，那就只有想象或动手制做模型．现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性． 师；如图11，正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别在C1D1，CC1，AB上．画出截面PQR与