第6章习题答案数值分析.doc

第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson公式求积分的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。 解：①由梯形公式： 最大误差限 其中， ②由梯形公式： 最大误差限 ， 其中，。 4、推导中点求积公式 证明：构造一次函数P（x），使 则，易求得 且 ，令 现分析截断误差：令 由易知为的二重零点， 所以可令， 构造辅助函数，则易知： 其中为二重根有三个零点 由罗尔定理，存在 从而可知 截断误差 在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 综上所述 证毕 6、计算积分，若分别用复化梯形公式和复化Simpson公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？ 解：①由复化梯形公式的误差限 可解得： 即至少剖分213等分。 ②由复化梯形公式的误差限 可解得： 即至少剖分4等分。 7、以0，1，2为求积节点，建立求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。 解：在0，1，2节点构造二次lagrange插值多项式，则有 则 对上式在[0，3]上求积分，则有 其中 插值型求积公式 由于在[0，3]上不保持常号， 故考虑构造一个二次多项式满足下列插值条件： 由Hermite插值方法，有 对上式在[0，3]上求积分，则有 因为为二次多项式，所以 8、（1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。 解：分别将，x代入求积公式，易知求积公式精确成立。 代入，令求积公式精确成立，于是有： 可解得： 代入，于是有 左=右，求积公式成立。 代入，于是有 ，求积公式不精确成立。 综上可知，该求积公式具有三次代数精度。 9、对积分，求构造两点Gauss求积公式，要求： （1）在[0,1]上构造带权的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。 解：（1）构造在[0,1]上构造带权函数的正交多项式、、，取、 ， 其中， 则。 同理，，求的零点得： ， 求积系数： （2）求（1）可导出求积公式： 11、试用三点Gauss-Legendre公式计算并与精确值比较。 解：设三点Gauss-Legendre求积节点为： ，， 相应求积系数为： ，，，,， ，令 则 精确值为：ln3=1 二者误差：R≈5.7307×10-4。 13、对积分导出两点Gauss求积公式 解：在[0，1]上构造带权的正交多项式、、 =1， 同理可得 求的零点可得 以、作为高斯点 两点高斯公式，，应有3次代数精度，求积公式形如 将代入上式两段， 联立解出： 所以所求两点Gauss求积公式 15、利用三点Gauss-Laguerre求积公式计算积分 解：原积分，其中 由三点Gauss-Laguerre求积节点： 相应求积系数 则 16、设四阶连续可导，。试推导如下数值微分公式的截断误差。 解：设是的过点的2次插值多项式，由Lagrange插值余项（n=2）有， 其中 若取数值微分公式 则截断误差 将代入得 误差项中， 所以截断误差为，即