第7章解析几何习题.doc

PAGE  PAGE 24 向量代数与空间解析几何 §７．１　空间直角坐标系 １．在空间直角坐标系下，作出下列各点： 解略 ２．求点的对称点的坐标： （１）关于各坐标面对称；关于xoy面、yoz面、zox面的对称点的坐标依次为 （２）关于各坐标轴对称； 关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标依次为 （３）关于坐标原点的对称点． ３．求点到（１）坐标原点，（２）各坐标轴，（３）各坐标面的距离． （１）到坐标原点的距离． （２）到x轴的距离，即到点的距离为 同理，到y轴和z轴的距离依次为 　 （３）到xoy面的距离为， 到yoz面及zox面的距离依次为４，３． ４．金红石的晶胞如图所示（见教材）．用圆圈代表钛原子．黑点代表氧原子，a=b，８个角和中心是钛原子，４个氧原子的位置是， 　　中心处钛原子与处氧原子间的距离叫键长．求键长． 解　中心处钛原子的坐标为，故所求键长为 ５．试证以为顶点的三角形是等腰直角三角形． 证明　由于，而且，前者说明三角形是等腰的，后者说明是直角三角形． §７．２　　　向量 １．已知两点与，求向量与－２的坐标． ； ２．已知两点与，求向量的模、方向余弦和方向角． 模为； 方向余弦为　； 方向角　． ３．（１）已知向量，它的起点是，求它的终点； 设终点坐标为，则由，得 ，解得　， 故已知向量的终点坐标是． （２）已知向量，它的终点是，求它的起点； 设起点坐标为，则由，得 ，解得起点坐标为． ４．已知一向量与x轴、y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是前者的两倍，求这向量的方向余弦． 设该向量的方向角为，则　， 由此解得　　或　 ， 故该向量的方向余弦为；或；或． ５．已知，求： （１）； ； （２） ； （３）； ； （４）； ； （５）； ； （６）； 　　； （７） ； （８） ； （９） 　　 ； （１０） ； （１１） ； （１２） ； （１３） ； （１４） ． ６．求与垂直的单位向量． ， 所求单位向量为． ７．已知从定点到动点的向量与向量　垂直，求动点的轨迹． 由于，据向量垂直的条件， 即　，此即所求轨迹方程． ８．已知两力作用于同一点．问要用怎样的力才能与它们平衡？ 根据力的平衡原理，知要与它们平衡的力为 　　　． ９．有一个牛顿的力作用在一物体上，力的方向余弦为，求这个力使物体从点沿直线运动到点所作的功． 由题意，可知该力可表示为　， 而力的位移为　 　　故该力作功　 １０．已知，求： （１）； 因为　 故　； （２） ； （３） ； （４） ． §７．３　平面与空间直线 １．求下列各平面的方程： （１）过点，且垂直于y轴； 　设为所求平面上任意点，可取所求平面的法向量为， 故平面方程为　． （２）过点，且垂直于向量； 可取为所求平面的法向量，所求平面为 即　　． （３）过点，且与平面平行； 因所求平面与平面平行，故其法向量可取， 所求平面方程为，即． （４）过点和（０，－１，０），且平行于z轴； 因平面平行于z轴，故可设所求平面方程为， 把已知两点的坐标代入，得方程组：， 解得，所以所求平面是． （５）过点，且垂直于平面； 由于所求平面垂直于，则向量在所求平面上， 又过两点，则这两点为起、终点的向量也在平面上，故所求平面的法向量可取×＝， 从而所求平面的方程为　， 即　． （６）过三点； 由三点式方程，知所求平面是　， 即　 （７）过点，且与直线垂直； 由条件知，平面的法向量平行于直线的方向向量，所以所求平面是 ，即． （８）过点且与直线垂直； 由已知条件，知决定直线的两个平面的法向量在所求的平面上，故由三向量共面的条件，得所求平面方程为 ，　即　． （９）过点，且与直线垂直； 已知直线的方向向量为，故所求平面的方程是 ，即　． （１０）在x轴、y轴、z轴上的截距分别为； 由截距式方程，直接知所求平面为　， 即　． （１１）过点与直线； 由条件，直线的方向向量及点与已知直线上一点　为始终点的向量都在所求平面上， 故所求平面（由三矢共面的条件）为 ，即　　． （１２）过两相交直线和； 所求平面过二直线，则通过二直线上的所有点．是直线 上两点，是直线上一点，且这三点不共线． 所以要求的平面方程是　， 即　 （１３）过两平行直线和； 是两直线上各一点，由题意，即知直线的方向向量和向量都在平面上，故所求平面的法向量为 × 所求平面方程，即　． （１４）过直线且平行于直线． 直线和的方向向量分别是， 所求平面的法向量与这二向量都垂直，可取 又显然所求平面过原点，所以所求平面的方程为　． ２．求下列各直线的方程： （１）过点，其方向角为． 方向角为，故直线的方向向量为 所以要求的直线方程为，即． 过两点； 由直线的两点式方程，得所求直线方程为， 即　． 过点，且与两点的连线平行； 所求直线的方向