第二十六讲生活中的数学.doc

生活中的数学(四) ──买鱼的学问 　　鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？ 　　有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！ 　　在平面几何中，我们已经知道以下定理． 　　定理1 相似形周长的比等于相似比． 　　定理2 相似形面积的比等于相似比的平方． 　　例1 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)． 　　证 △ABC的周长是 2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)， 　　△A′B′C′的周长是 3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)， 　　所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3． 　　例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是32∶42． 　　证 矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42． 　　从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子． 　　例3 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比． 　　解 长方体(a)的体积是 3a·3b·3c=33abc， 　　长方体(b)的体积是 5a·5b·5c=53abc， 　　所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc＝33∶53 　　例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比． 　　解 小圆柱的体积是 　　(2a)2π·2b＝23a2bπ，大圆柱的体积是 　　(3a)2π·3b＝33a2bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33． 　　定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方． 　　有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，对于鱼A和鱼B来说，A与B的相似比为13∶10，因此，根据定理3，A与B的体积之比为 　　由于A鱼的价格是1.5元，B鱼的价格是1元，所以价格比是1.5∶1=1.5，我们可以看到，A的体积是B的体积的2.197倍，可是A的价格却是B的价格的1.5倍，所以买大鱼A比买小鱼B更合算． 　　下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规定标准：设M鱼高1厘米时，体积是2厘米3，那么N鱼高是x厘米时，体积是y厘米3．由于M和N是相似形，所以由相似形体积之比与相似 　　根据上式，当x的值变化时，y的值相应地跟着变化，于是，我们就得到表30.1． 　　从表中可以看到：当x=1时，x3=1，y=2x3=2．这就是M鱼的身高与体积的关系． 　　当x的长度由1厘米增长到2厘米，即增长2倍时，其体积y相应地由2厘米3增长到16厘米3，即增长了8(23)倍． 　　当x的长度由1厘米增长到3厘米，即增长3倍时，其体积y相应地由2厘米3增长到54厘米3，即增长了27(33)倍． 　　一般地，当x增长n倍时，则体积y相应地增长n3倍． 　　根据上表中的x和y的对应数值，可以画出y=2x3的图像(图2-176)． 　　例5 利用y=2x3的图像(图2-176)，解答下列问题： 　　(1)当x=2.75时，y的值是多少？ 　　(2)当y=10时，x的值是多少？ 　　解 (1)在x轴上，对应于x＝2.75取一个点，通过这一点作y轴平行线交y=2x3的图像上的某一点，过这一点再作x轴的平行线交y轴于一点，这一点对应的数值是40，这样，就在y轴上得到了x=2.75时对应的y值，即y=40．这就说明，当鱼N的高度为2.75厘米时，它的体积约为40厘米3． 　　(2)在y轴上对应于y=10取一点，过此点作x轴的平行线，交y=2x3的图像于某点，再过这点作y轴的平行线，在x轴上得到了y=10对应的x值1.75．这说明当N的体积为10厘米3时，高度约为1.75厘米． 　　上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的身高和价格的关系．为此，引用前面的条件，设鱼B的身高为10厘米，价格是每斤1元，其体积假定为50厘米3．由于鱼是相似的，在买鱼的时候，考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身高和价格之间有着怎样的关系呢