第3章快捷准确的几何计算.pptVIP

第三章 快捷准确的几何计算;3.1 几何计算中常用的定理与公式;3.1.1几何计算中的常用定理;例1 (美国) 证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．;注 ： （1）Menelaus定理的逆命题为真，是Menelaus定理的逆定理； （2）本定理可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧氏空间中； （3）恰当选取或作出三角形的截线，是应用Menelaus定理的关键，其逆定理常用于证明三点共线问题. ;例2 设四边形ABCD两组对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点共线。;注： （1）Ceva定理的逆命题为真，是Ceva定理的逆定理； （2）Ceva定理可以推广到四面体中； （3）同时应用Menelaus定理和Ceva定理，是解决比较复杂的相关问题的有效途径. ;例3 以△ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点．求证：AM、BN、CL交于一点．;思考：;定理4 （斯特瓦尔特（Stewart）定理）已知△ABC及BC边上一点P. 求证:AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=BP·PC·BC.;定理5 （切割线定理）从圆外一点P引圆的切线,切线长PA是这点到割线与圆交点C、D的两条线段长的比例中项.即PA2 ＝PC?PD.;定理6 （射影定理）;定理7 （张角定理）如图，设P 为△ABC的BC边上的点，AB、AC、AP的长分别为a、b、t，则;例4 (蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=MQ．;定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．;例5 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．;定理9 （三角形内心性质定理）如图，设I为△ABC的内心，?A的平分线与△ABC的外接圆交于点P，则PB=PC=PI．;例6 (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．;3.1.2 几何计算中的常用公式;2. 已知三边求高和面积;3. 已知三边求外接圆半径;5．已知三边求角平分线;9．拟柱体体积公式;作业：P86 1，3，4，8，14;3.2 面积方法与面积计算;3.2.2 面积计算;2. 常用方法;例1 一个凸五边形，以每相邻三个顶点为顶点的三角形的面积都等于1，求这个五边形的面积.;（2）相对计算法;（3） 等积变换法;例3 已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、CD上的点，EF∥BD，S△ADF=5,求S△ABE.;（4） 分割补法 它包括分割法、割补法和补充法三种基本方法． （5）定积分法 当平面图形边界曲线较复杂时，我们可以建立直角坐标系，求出边界曲线的方程，利用定积分来计算面积． 一般地讲，计算平面图形的面积常把几种方法结合起来使用．举例如下： ;例4 设P、Q、R、S分别是正方形ABCD各边的中点，AP、BQ、CR、DS围成一个四边形EFGH，试求四边形EFGH与正方形ABCD的面积之比．;3.2.3 面积方法;例1 G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，求FG.;例2 △ABC面积为1，在其内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求ax+by+cz的值．;例3 如图，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求 .;例4 如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．;作业：P87 10,12,16