第3讲有限元数学原理.pptVIP

第三讲 有限元分析的数学求解原理;一般说来，求解方程的途径有两大类： 1）直接针对原始方程进行求解 2）间接针对原始方程进行求解;直接解法——解析法：;——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。;——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。;直接解法——有限差分法：;有限差分格式;间接解法——加权残值法：;虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的 虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力 分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。;;把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。;1）假定 2）将上式代入泛函 ，计算变分 。 3）由极值条件，算出待定常数 ，使之满足基本微分方程。 4）把得到的常数代回 ，得到所求问题的解。 ;;本章主要内容;3.1简明问题的解析求解——一维拉压杆问题;;;讨论1 若用材料力学的经验方法求解，则需先作平面假设，即假设应力为均匀分布 σx=P/A 由广义胡克定律得 εx=P/EA 右端的伸长量为 Δu=εxl=Pl/EA ;;有限元分析步骤-单元分析;;;由虚功原理可以推得 ;3.1简明问题的解析求解——平面梁问题;;;;平衡方程： x方向 y方向;;物理方程： 由广义虎克定律有 整理得 边界条件;;;;; 根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。 ;;;由虚功原理可以推得 ;3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法;;3.2.1梁弯曲问题近似求解的Galerkin加权残值法;;将试函数代入原始方程组，则必有残差 ，真实的c1,c2,c3…cn使得残 值的积分为零，即 其中w1,w2,w3…wn为权函数。以上为关于c1,c2,c3…cn的方程组，由上式可以求出他们，最后由线性组合形式的试函数得到真实 。如果将权函数w1,w2,w3…wn取为?1, ? 2, ? 3… ? n，则该方法称作伽辽金法。 ;受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解;;受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解;;受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解;;3.2.2梁弯曲问题近似求解的最小二乘法;受均布外载荷简支梁的残值最小二乘法求解;3.2.3一般弹性问题近似求解的加权残值法;; 同样，也可以得到空间问题的加权残值法，包括伽辽金加权残值法和最小二乘法。可以看出，弹性问题的加权残值法的特点为： 1、试函数要满足所有边界条件，即位移边界条件和力边界条件 2、积分中试函数的最高阶导数较高（对梁的弯曲问题，导数为4阶，而对于其他一般弹性问题为2阶），因此试函数对连续性要求较高 3、整个方法为计算一个全场的积分 4、有求取积分问题的最小值，将原方程得求解化为线性方程组的求解 5、整个方法的处理流程比较规范 6、难点在于如何在全场范围内寻找同时满足所有边界条件的具有较高连续性的试函数？;3.3弹性问题近似求解最小势能原理及其变分原理;受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解;;受均布外载荷简支梁的最小势能原理求解;;;一般弹性问题的最小势能原理;3.3.3最小势能原理的变分基础 最小势能原理证明推导的过程实际上就是数学上的变分过程，所采用的方法叫做变分方法。（variational method）。这里还是以受均布载荷作用下简支梁的平面弯曲问题为例来证明，从特殊到一般的推导过程。 该问题的原始提法为： 假定有位移v（x），它满足剪支梁的控制方