第4章有限差分方法离散方程.pptVIP

有限差分方法离散方程及性能分析主讲：董玉萍;1 基本概念;离散方法比较;有限差分的概念;2 差分的基本形式及精度; 上述几种差分形式可通过Taylor级数展开的方法，得到前差分和后差分具有一阶精度; 中心差分具有二阶精度。;3 显式差分与隐式差分; 隐式格式;4 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性;以扩散方程为例：; 类似于导数的差分形式的截断误差，扩散方程的差分形式的截断误差为o(Δt,Δx2)。 如果 Δx，Δt →0时，截断误差o(Δt, Δx2)→0，则称差分方程与原微分方程是相的。 当Δx，Δt 以任何形式→0时， o(Δt, Δx2) →0，则称无条件相容。 当Δx，Δt 以某种方式→0时， o(Δt, Δx2) →0，则称有条件相容。 ;有限差分格式的收敛性;有限差分格式的稳定性; 为了理解稳定性的概念，下面介绍两种类型的不稳定。 对流扩散方程 用FTCS离散 在n时刻方程有一个稳定解 ，由于某种原因存在一个扰动，由该扰动带来解的误差 , 假定其为线性叠加 即 待人上式 ;则有 ;为了便于讨论，将上述两项的影响分开来讨论 由图可见，1)由于εj+1n0, εjn0, εj-1n0,则 4εj+1n0；由于εjn0，所以，|εj+1n||εjn|; 即Δεj+1n趋向于校正负的扰动εjn，同理可分析出Δεj+1n+10，即Δεj+1n+1正好校正正的扰动εj+1n 。εj+1n的幅度小于εjn ，扰动会趋向于消失，所以扩散过程有利于计算的稳定。 2)εj+1n与Δt有关，与Δt成正比，若Δt很大，随着Δt增大，Δ |εj+1n|增大； 若|εj+1n||εjn|，则εj+1n会形成振幅不断增大的振动型过冲，有可能不稳定，属于动态不稳定，可用减小Δt的办法来消除。;对流项： 假定对流速度u＞0，扰动是一个振荡型的。 |εjn|，则对j节点有 即 Δεj+1n 与εjn ， |εj+1n||εjn|。 从而扰动随时间不断的单调增大。结果是不稳定的。称为静态不稳定。;它不能依靠改变参数来消除，只有改变差分差分格式才能避免。 在实际计算中，这种初始误差的产生和分布常常是随机的，若处理不当，会造成计算不稳定。 如果方程中对流项与扩散项同时存在时，两者的相互牵制对时间步长的限制条件，取决于对流项与扩散项的相对重要程度。; 概念：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数，是一种特殊的三角级数。公式如下： 其中kj:波数 λ=2π/ kj 相角φ= kjΔj ωj：周期 ; 设 ，上式可整理为 ;方程的解用傅里叶分量可写成 其中： kx为波数；λ为波长，λ=2π/ kjx ，当 λ → ∞， kx→ 0.所以kx = 0 代表直线；定义相角θ= kxΔx , 是波数为kx的分量在时刻n的幅度函数。 将解的傅里叶分量带人差分方程;消去 得，; 定义 ，G为幅度因子 由上式可得 可见，G=G（θ），由于不同的θ值代表不同的分量，所以幅度因子对于不同的傅里叶分量有不同的值。根据Von Neumann法的定义，要使方程的解保持有界，对于所有的θ值都应该