第6章数学解题理论概述.pptVIP

第六章 数学解题理论概述; 数学解题方法论主要是研究和讨论数学解题的一般规律、法则和方法的学科，是关于解题和寻找解题方法途径的研究。 　解题是数学教师的基本功，美国数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏,数学家存在的理由就是解问题。因此，数学的真正的组成部分是问题和解”。著名的数学家波利亚也曾说过，“掌握数学就意味着善于解题”，“中学数学教育首要的任务就是加强解题训练”。 名师出高徒,要培养学生的解题能力,教师首先要有高超的解题能力。一名优秀的数学教师,必须具备良好的数学专业素养和精湛的教学艺术,而解题基本功不仅仅是数学专业素养的构成因素,同时也是教学艺术的某种体现。 ;§1 数学问题及其类型 一、数学问题的含义 1、数学问题是一种需要行动的情况 波利亚在《数学的发现》一书中指出，“有问题指的是，有???识地寻求某一适当的行动以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。” ;3、数学问题是一种题系统 　　奥加涅相认为，研究系统（S,R），其中S代表某个主体，R代表某个构成一个抽象系统的几何，称集合R为题系统。;5、数学问题是一种以潜问题的形式被主题数学心理场所感知的数学模式序缺 王秋海先生提出，数学模式序缺是数学问题产生的根源，这种模式序缺以潜在的形式独立存在于数学模式之中，只有被人们的数学心理场感知方向方可称为真正的数学问题。; 所有的问题都会有三种成分: ①给定(Givens),即一组给予的信息; ②目标(Goals),问题要求的或结尾的状态,即关于构成问题的结论描述; ③障碍(Obstacles),思维者无法立即找到正确的答案,必须通过一定的方式来改变给定状态,逐步达到目标要求. ; 二、数学问题的特征 数学问题具有以下特征: （1）客观性:数学问题对于主体来说就是一种客观的存在,所以,主体在接受问题时,必然会对问题产生感知和理解. （2）障碍性:数学问题对于主体来说具有一定的困难,用习惯的反应和模式会失败,于是可能出现多次失败的尝试. （3）挑战性:数学问题一旦为个人所感知,就对人的智能构成了一种挑战,迫使他探索新的处理方法. ; 三、数学问题的类型 1、弗里得曼的三分法:即按数学的问题的外在形式可以分成求解题、证明或说明题、变换题或求作题. 2、系统要素分类法:按照奥加涅相等人的观点,数学问题是一个系统,其构成要素主要有四个:问题的条件，问题的结论、解题的方法、解题的依据. 根据题目系统中要素的已知情况,可以将数学问题分为标准性题、训练性题、探索性题和问题性题四类. 四个要素都为已知的题即为标准性题.如果四个要素中有一个要素未知,其余三个要素已知,这样的题称为训练题.如果四个要素中有两个要素已知,其余两个要素未知,则称这样的题为探索性题.如果四个要素中仅有一个要素是学生已知的,其余三个都是学生所不知道的,这样的题称为问题性题. ; 3、成分分析分类法 : 任何一个数学问题的陈述,都是由某些题设条件和问题的要求等两部分组成的,即初始状态和目标状态,系统由初始状态向目标状态运动变化过程的发现,即是解决问题的过程.从而,对于一个数学问题,我们可以把它分解成三个基本成分: A.初始状态—问题的条件； B.解决问题的过程—根据一定的知识经验,变换问题的条件,向结论过渡; C.最终状态—问题的结论. ; 这样可以将数学问题分为三类:标准题、封闭性变式题、开放性变式题. 如果一道题的条件和结论都是很明显的,其解题过程也是解题者所熟知的，那么就称为标准题. 如果对标准题作一些改造和变化，使其三个基本成分中缺少一个或两个，这些成分解题者不知道或不明确，这样的题称为封闭性变式题（A、B已知，C未知）或开放性变式题（A已知，B、C 未知 ）.; 4、按开放性分类: 按题目中条件或结论等成分确定与否,可将数学题分为封闭题和开放题两类.凡是具有完备的条件和固定的答案的题目称之为封闭题,凡是答案不固定或者条件可以变换的题目称之为开放题. ; 5、按问题层次分类: 在英国,对“问题”有两种理解,一是认为“问题”应与现实生活的实际有关;另一观点则只考虑数学理论中的问题.布茨综合二者,按照题目性质、水平层次,将数学问题由低到高划分五类:识别练习题、算法练习题、应用问题、开拓—探究问题、情景问题. 识别练习题只要求解题者识别或回顾一个具体的事实、定义或一个定理的陈述.通常以判断正误、填空或多重选择等形式提出.