距离问题向量解法.doc

利用空间向量 巧解距离问题 748200 甘肃省渭源县第一中学 董治中 曹平原 关键词： 向量 法向量 单位向量 数量积 向量模 距离 摘 要： 本文主要论述的是：如何利用空间向量知识，巧妙地解决立体几何中距离的计算问题．关于距离的计算问题，是立体几何中最常见的疑难问题．这些问题大体上可分为以下五类：就是点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线之间的距离、直线与平面的距离和平面与平面的距离．把向量知识作为一种工具，运用于立体几何中，就能很巧妙地解决这些疑难问题．本文比较详细地论述了立体几何中有关距离的各种计算问题，文中提出的一些具体方法是非常有用的． 立体几何中的很多问题，用传统的思维方式解决时，困难较多．一是作图较难，二是思维抽象，三是运算量大．因此，在新编立体几何教材中，增加了空间向量的有关知识．有了空间向量知识，就可以用一种全新的思维方式，来分析空间中线线、线面、面面之间的各种位置关系．这种新的思维方式，既是对传统思维方式的补充，又是对传统思维方式的挑战．利用向量知识，可以把空间图形之间各种关系，转化为向量之间关系．可以把空间图形位置关系的抽象讨论，全部转化为向量的具体运算．从而，降低思维难度，淡化推理论证，简化解题过程． 可以说在新教材中，增加向量知识是教材改革中最为成功的地方．对于立体几何中，用传统思维方式难以解决的一些问题，如果利用向量知识解决，就比较容易．把空间向量作为一种工具，就能很巧妙地解决立体几何中很多疑难问题．如平行和垂直的证明，角和距离的计算，等等．在这里主要讨论一下，如何利用空间向量的一些知识，巧妙地解决立体几何中有关距离的各种计算问题． 一、点到线的距离，可以用这点到直线上任意的一点向量和直线上的单位向量来计算 例 1 已知矩形ABCD的边长AB=6，AD=4，在CD上取一点E，使得CE=4，将ΔBCE沿BE所在直线折成ΔBGE，使ΔBGE的高GF⊥平面ABCD，求G到直线BD的距离． 解：以A为原点，如图建立直角坐标系．则． 由此得线段BD上的单位向量是： ，． 作GH⊥BD于H．利用公式：． 可以求得点G到直线BD的距离： ?? ． 二、点到平面的距离，可以用这点到平面上任意的一点向量在平面法向量上的射影的绝对值计算，也可以用向量的模进行计算 例2 ①已知三点A（1，0，0），B（3，1，1），C（2，0，1）．求D（2，0，-1）到平面ABC的距离． ②已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=900,PA⊥平面ABCD，PA=AD=3，AB=2，BC=1． 求点D到平面PAC的距离． 解：①设是平面ABC的法向量，由于 则 ，即 ，由此解得． 令,得 ， ．又． ∴所求距离． ②以A为坐标原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立坐标系． 过D作 DQ⊥AC于Q，∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥DQ,　∴DQ⊥平面PAC ， ∴就是D到平面PAC的距离．,,． 设， ， 由， , ． ∴． 三、异面直线的距离，可以用连接异面直线两点的向量和与异面直线同时垂直的单位向量来计算 例3 如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF的边长都为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．求异面直线的距离PM与FQ的距离． 解：以D为原点，如图建立直角坐标系，则得 ,,, ，． ．设向量与向量、都垂直，则 ， 令得 ，∴． 所以，异面直线PM与FQ的距离为：． 四、直线与平面的距离和平面与平面的距离问题，都能够转化成点到平面的距离问题，所以都能够用向量进行计算． 例4 已知正方体的棱长为a，点E、F分别在上，且，． ⑴ 求证EF∥平面ABC1D1 ． ⑵ 求EF到平面ABC1D1间的距离． 解：⑴ 以D点为原点，如图建立直角坐标系，则 ， ， ，∴EF∥AC1 ,由此可得:EF∥平面ABC1D1． ⑵ ∵　EF∥平面ABC1D1, ∴ 只需要求出点F到平面ABC1D1的距离． 又 ，平面ABC1D1的一个法向量为， 则EF到平面ABC1D1间的距离为：． 例5 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1= a，M、N分别是A1B1、AB的中点 ⑴ 求证：平面AMC1∥平面NB1C． ⑵ 求平面AMC1与平面NB1C之间的距离． 解：⑴ 根据题意可以证明AMB1N和MC1CN都是平行四边形，所以AM∥N B1，MC1∥NC， 由此可得：平面AMC1∥平面NB1C． ⑵ 以A为原点，垂直于AC的直线为x轴， 如图建立直角坐标系，则 ，， ． 设平面AMC1的一个法向量为，则 , 令得， ∴．所以，平面AMC1与平面NB1C之间的距离为： ==． 参考文献： 1、曹平原《向量知识在立体几何中的应用》数理天地 2005、10