量子力学导论第六章答案.doc

PAGE  PAGE 8 第六章 中心力场 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 （1） 总动量 （2） 总轨迹角动量 （3） 总动能 （4） 反之，有 （5） ， （6） 以上各式中， 证： ， （17） ， （18） 相对动量 （1’） 总动量 （2’） 总轨迹角动量 由（17）、(18)可解出，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能 （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］. 同上题，求坐标表象中、和的算术表示式 ， 解： （1） 其中 ， 而 ， 同理，； （利用上题（17）（18）式。） ；仿此可设 （2） 代入（1）中，得 （3） （4） 只要将（3）、（4）式中的、以相应的算符代入即可。 6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a）电子偶素（positronium，指束缚体系） （b）u原子（muonic atom） （c）u子偶素（muonium，指束缚体系） 解：由氢原子光谱理论，能级表达式为： , 。 （a）电子偶素能级 ，（） （b）u原子能级 ，（） （c）u子偶素能级，（） 6.4）对于氢原子基态，计算。 解： * 在求坐标系中，空间反演：（）。 氢原子基态波函数为 （1） 宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 （2） 由于各向同性，呈球对称分布，显然有 （3） 容易算出 （4） （5） 因此 ， （6） ， （7） （8） 测不准关系的普遍结论是 （9） 显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。 6.5）对于氢原???基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。 解：氢原子基态波函数为 ，， 相应的能量 动能 是经典不允许区。由上式解出为。 因此，电子处于经典不允许区的几率为 （令） 6.6）对于类氢原子（核电荷）的“圆轨迹”（指的轨迹），计算 （a）最可几半径； （b）平均半径； （c）涨落 解：类氢原子中电子波函数可以表示为 （1） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 （2） 决定。时，。 代入（2）式，容易求得 （4） 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 （b）在态下，各之间有递推关系（Kramers公式） (5) （参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197） 在（5）式中令，注意到。可设 (6) 依次再取，得到 （7） （c） （8） 因此，的涨落