基于MATLBA数值分析.ppt

第三章 线性代数;? 例: 不同范数意义下的单位圆 运行以下Matlab程序，文件名为：normpolt.m 描绘norm(x,1)=1;norm(x,2)=1;norm(x,inf)=1 的图形 ;For matrices... norm(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)). norm(X,2) is the same as norm(X). norm(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum, = max(sum(abs(X))). norm(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum, = max(sum(abs(X))). norm(X,fro) is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X*X))). norm(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or fro.;;例：分别求x=[1 3 7 8 -2],y=[3 9 3 -3 9]的长度与它们的夹角。 x=[1 3 7 8 -2];y=[3 9 3 -3 9]; xx=norm(x,2); yy=norm(y,2); theta=acos(dot(x,y)/(xx*yy)); s=[xx,yy,theta];d=eig(A) ： 方阵的特征值； [V,D]=eig(A) : A*V=V*D [V,J]=jordan(A) : A*V=V*J c=condeig(A) ： 向量c中包含矩阵A关于各 特征值的条件数 [V,D,c]=condeig(A)：;例：观察7阶随机矩阵特征值的分布 a=rands(7,7) %产生7阶随机矩阵 e=eig(a) title(特征值的分布); plot(real(e),imag(e),o) xlabel(实轴); ylabel(虚轴);;例：观察正交矩阵的特征值分布 a=rands(7,7); b=orth(a); %构造一个正交矩阵 theta=0:0.01:2*pi; e=eig(b); plot(real(e),imag(e),r*,cos(theta),sin(theta)); axis equal title(正交矩阵特征值的分布); xlabel(实轴); ylabel(虚轴);;例:矩阵范数与谱半径之间的关系 ;3.2 矩阵的运算;二、矩阵的左除和右除;【例】“求逆”法和“左除”法解恰定方程的性能对比 （1）构造一个条件数很大的高阶恰定方程 randn(state,0); A=gallery(randsvd,100,2e13,2); x=ones(100,1); b=A*x; cond(A) ans = 1.9990e+013 ;（3）用“左除”法求解 tic;xd=A\b; td=toc, erd=norm(x-xd), red=norm(A*xd-b)/norm(b) td = 0.0600 erd = 0.0078 red = 2.6829e-015 ;求矩阵方程： 设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。 其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。 解：有(A-2I)B＝A 程序 ： A=[3 0 1; 1 1 0;0 1 4]; B=inv(A-2*eye(3))*A, BB=(A-2*eye(3))\A 观察结果：;三.矩阵函数的计算 ;[L,U,P]=lu(A) ： PA=LU r=chol(A) : A=LLT , r=LT [Q,R]=qr(A), [Q,R]=qr(A,0) : A=QR [U,S,V]=svd(A) : A=USVT [Q,R]=schur(A) : QTAQ=R [P,H]=hess(A) : PAP-1=H;实方阵的初等化简分解: A1=[3 1 3;2 5 2;1 2 3], [L,U]=lu(A1) A2=[1 1 2;1 2 3;1 2 1;1 1 6], [Q,R]=qr(A2), [Q1,R1]=qr(A2,0) A3=[2 1 1;1 4 -1;1 -1 3], r=chol(A3) ;实方阵的正交相似化简: