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基于MATLBA数值分析
第三章 线性代数;? 例: 不同范数意义下的单位圆
运行以下Matlab程序,文件名为:normpolt.m
描绘norm(x,1)=1;norm(x,2)=1;norm(x,inf)=1
的图形
;For matrices...
norm(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)).
norm(X,2) is the same as norm(X).
norm(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,
= max(sum(abs(X))).
norm(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,
= max(sum(abs(X))).
norm(X,fro) is the Frobenius norm,
sqrt(sum(diag(X*X))).
norm(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf
or fro.;;例:分别求x=[1 3 7 8 -2],y=[3 9 3 -3 9]的长度与它们的夹角。
x=[1 3 7 8 -2];y=[3 9 3 -3 9];
xx=norm(x,2);
yy=norm(y,2);
theta=acos(dot(x,y)/(xx*yy));
s=[xx,yy,theta];d=eig(A) : 方阵的特征值;
[V,D]=eig(A) : A*V=V*D
[V,J]=jordan(A) : A*V=V*J
c=condeig(A) : 向量c中包含矩阵A关于各
特征值的条件数
[V,D,c]=condeig(A):;例:观察7阶随机矩阵特征值的分布
a=rands(7,7) %产生7阶随机矩阵
e=eig(a)
title(特征值的分布);
plot(real(e),imag(e),o)
xlabel(实轴);
ylabel(虚轴);;例:观察正交矩阵的特征值分布
a=rands(7,7);
b=orth(a); %构造一个正交矩阵
theta=0:0.01:2*pi;
e=eig(b);
plot(real(e),imag(e),r*,cos(theta),sin(theta));
axis equal
title(正交矩阵特征值的分布);
xlabel(实轴);
ylabel(虚轴);;例:矩阵范数与谱半径之间的关系 ;3.2 矩阵的运算;二、矩阵的左除和右除;【例】“求逆”法和“左除”法解恰定方程的性能对比
(1)构造一个条件数很大的高阶恰定方程
randn(state,0);
A=gallery(randsvd,100,2e13,2);
x=ones(100,1);
b=A*x;
cond(A)
ans =
1.9990e+013
;(3)用“左除”法求解
tic;xd=A\b;
td=toc,
erd=norm(x-xd),
red=norm(A*xd-b)/norm(b)
td =
0.0600
erd =
0.0078
red =
2.6829e-015
;求矩阵方程:
设A、B满足关系式:AB=2B+A,求B。
其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
解:有(A-2I)B=A
程序 :
A=[3 0 1; 1 1 0;0 1 4];
B=inv(A-2*eye(3))*A,
BB=(A-2*eye(3))\A
观察结果:;三.矩阵函数的计算 ;[L,U,P]=lu(A) : PA=LU
r=chol(A) : A=LLT , r=LT
[Q,R]=qr(A),
[Q,R]=qr(A,0) : A=QR
[U,S,V]=svd(A) : A=USVT
[Q,R]=schur(A) : QTAQ=R
[P,H]=hess(A) : PAP-1=H;实方阵的初等化简分解:
A1=[3 1 3;2 5 2;1 2 3],
[L,U]=lu(A1)
A2=[1 1 2;1 2 3;1 2 1;1 1 6],
[Q,R]=qr(A2), [Q1,R1]=qr(A2,0)
A3=[2 1 1;1 4 -1;1 -1 3],
r=chol(A3)
;实方阵的正交相似化简:
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