数学物理方法离分变量法.ppt

本章中心内容 用分离变量法求解各种有界问题 第二章 分离变量法 1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 本章基本要求 掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题 2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 分离变量法核心： 本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题 本章层次： 3 偏微分方程→常微分方程 齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 分离变量法思路起源 物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成 4 2.1 齐次方程问题 特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一个变量的函数之积。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，边界条件也是奇次的。 研究两端固定的弦的自由振动 定解问题 解： 这是解的分离变量 5 研究两端固定的弦的自由振动 定解问题 （第一类齐次边界条件） 由前面思路，设 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. x, t 是相互独立的变量 （求非零解） 1、分离变量 代入方程中， 分离过程： 得出两个常微分方程： 代入边界条件： 6 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 高数中结论： 2、求解本征值问题 7 若有二阶常系数线性齐次方程 其中p、q为常数，则特征方程为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与λ的不同取值有关，分情况讨论： 8 此时X（x）=0，只有零解，不合题意； 同样只有零解，不合题意； Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. C2是积分常数 9 则X（x）的一族非零解为 上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为固有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 固得到下面一族解： A、B 是积分常数 3、解出时间函数，得到一族解 时间函数解 10 解方程 n=1,2,3…… Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 代入初始条件，有 一般情况下满足不了，怎么办？！ 利用叠加原理！！！ 11 4、通过初始条件，求出通解 Evaluation only. Created with Aspose.Sli