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有限元分析第讲二杆单元
2 杆单元;(一)直接法导出单元特性
杆单元伸长量:;应变:;比照弹簧元的刚度方程,写出杆单元的刚度方程为:;(二)公式法导出杆单元特性; 单元位移模式写成矩阵形式:;2、单元应变:;对于杆单元,定义虚位移如下:;对杆单元应用虚位移原理,得:;对于上面的杆单元:;(三)关于杆单元的讨论
1)在单元坐标系下,每个节点一个未知位移分量,单元共有2个自由度。
2)单元刚度矩阵元素的物理意义:
刚度方程中令:
则:
所以,单元刚度矩阵的第i(i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为1,其它自由度位移为0时,施加在单元上的节点力分量。(也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素,试练习)
3)单元刚度矩阵性质:对称、奇异、主对角元素恒正。;(四)举例
例1 求图示2段杆中的应力。;参考前面弹簧系统的方法,装配2杆系统??有限元方程(平衡方程)如下:;上述方程组中删除第1,3个方程,得到:
解得:;单元2应力:;例2:;二、二维空间中的杆单元
(平面桁架单元);原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系;向量的坐标变换矩阵为:;单元节点力的变换为:;扩充到4自由度形式:;总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为:;单元应力:
;(二)例题;单元1:1-2;单元2:2-3;将单元1,2的刚度方程扩张到系统规模(6阶),
相加后引入节点平衡条件:;再引入边界约束和载荷:;按公式计算杆应力:
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