2014年中考数学复习专题六动态几何题(含答案).doc

专题六　动态几何题 专题解法探究特点：运动几何问题是指图形中的某个元素(如点、线段、角)及图形的整体等按某种规律运动，而图形在运动变化过程中各元素之间存在一定的相互联系，这类问题不仅考查学生的双基，而且还考查学生的数学思想，同时还考查学生对于运动中的动与静的认识． 类型：运动几何问题的主要类型有点的运动问题、线的运动问题、图形运动问题等． 热点知识：考查的知识有三角形的全等与相似，四边形的性质与判定，圆的有关知识，抛物线等函数的有关知识． 解题策略：解决这类问题时，不管是点动、线动．图形动都要发挥自己的想象力，不被“动”所迷，应在“动”中求“静”，把问题变成静态问题解决，要注意在运动中探究问题的本质，发现变量之间的互相依存关系．知识归类探究1)　点的运动问题 例1　如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q. (1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的eq \f(1,6)； (3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形？ 【解】　(1)证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ.AQ＝AQ， ∴△ADQ≌△ABQ. (2)△ADQ面积恰好是正方形ABCD面积的eq \f(1,6)时，过Q作QE⊥AD于有E，QF⊥AB于F，则QE＝QF， eq \f(1,2)AD·QE＝eq \f(1,6)S正方形ABCD＝eq \f(8,3)， ∴QE＝eq \f(4,3).由△DEQ∽△DAP得eq \f(EQ,AP)＝eq \f(DE,DA)，解得AP＝2. ∴P为AB的中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的eq \f(1,6). (3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD. ①当点P运动到点B时，由四边形ABCD是正方形知QD＝QA，此时△ADQ是等腰三角形； ②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形； ③当点P不与B、C重合时，设P在BC边上运动，当CP＝x时，有AD＝AQ，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ. 又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD. ∴∠CQP＝∠CPQ，CQ＝CP＝x. 又∵AC＝4eq \r(2)，AQ＝AD＝4. ∴x＝CQ＝AC－AQ＝4eq \r(2)－4，即当CP＝4eq \r(2)－4时，△ADQ是等腰三角形，此时BP＝8－4eq \r(2). ∴当点P在BC上运动，BP＝8－4eq \r(2)时，△ADQ是等腰三角形． 【思路点拨】　(1)根据SAS证明全等．(2)根据面积先求出QE的长，再由相似求AP的长，即可．(3)分三种情况进行讨论，求得BP(或PC)的长． 2)　线的运动问题 例2　如图①，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN. (1)延长MP交CN于点E(如图②)． ①求证：△BPM≌△CPE; ②求证：PM＝PN； (2)若直线a绕点A旋转到图③的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变．此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由． 【解】　(1)∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°.∴BM∥CN. ∴∠MBP＝∠ECP. 又∵P为BC边中点，∴BP＝CP. 又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE. ②∵△BPM≌△CPE， ∴PM＝PE，∴PM＝eq \f(1,2)ME. ∴在Rt△MNE中，PN＝eq \f(1,2)ME.∴PM＝PN. (2)成立． 证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，如图③ ∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N， ∴∠BMN＝∠CNM＝90°. ∴∠BMN＋∠CNM＝180°. ∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP. 又∵P为BC中点，∴BP＝CP. 又∵∠BPM＝∠CPE， ∴△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝eq \f(1,2)ME. 则在Rt△MNE中，PN＝eq \f(1,2)ME，∴PM＝PN. (3)四边形MBCN是矩形，PM＝PN成立． 【思路点拨】　(1)由直角可以得出BM∥NC，再利用平行线性质得出∠