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2016数学高考一轮复习《正弦定理和余弦定理》
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2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理 新人教A版
一、选择题
1.(文)已知△ABC中,a=eq \r(2)、b=eq \r(3)、B=60°,那么角A等于( )
A.135° B.90°
C.45° D.30°
[答案] C
[解析] 由正弦定理得,eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB),
sinA=eq \f(asinB,b)=eq \f(\r(2)sin60°,\r(3))=eq \f(\r(2),2),
又∵ab,∴AB,故A=45°,选C.
(理)在△ABC中,角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知A=eq \f(π,3),a=eq \r(3),b=1,则c等于( )
A.1 B.2
C.eq \r(3)-1 D.eq \r(3)
[答案] B
[解析] 解法1:由正弦定理eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)得,eq \f(\r(3),sin\f(π,3))=eq \f(1,sinB),
∴sinB=eq \f(1,2),故B=30°或150°.
由ab得AB,∴B=30°.
故C=90°,由勾股定理得c=2,选B.
解法2:由余弦定理知,3=c2+1-2ccoseq \f(π,3),
即c2-c-2=0,∴c=2或-1(舍去).
2.(2014·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )
A.(eq \r(2),eq \r(3)) B.(1,eq \r(3))
C.(eq \r(2),2) D.(0,2)
[答案] A
[解析] 由eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)=eq \f(b,sin2A),则b=2cosA.eq \f(π,2)A+B=3Aπ,从而eq \f(π,6)Aeq \f(π,3),又B=2Aeq \f(π,2),
所以Aeq \f(π,4),所以有eq \f(π,6)Aeq \f(π,4),eq \f(\r(2),2)cosAeq \f(\r(3),2),所以eq \r(2)beq \r(3).
3.(文)在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,且sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角C等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
[答案] B
[解析] 由正弦定理得a2-c2=(a-b)·b=ab-b2,
由余弦定理得cosC=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(1,2),
∵0Cπ,∴C=eq \f(π,3).
(理)(2013·浙江调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,则tanA的值是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.-eq \f(\r(3),3)
C.eq \r(3) D.-eq \r(3)
[答案] D
[解析] 依题意及正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cosA=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=eq \f(-bc,2bc)=-eq \f(1,2),又0Aπ,所以A=eq \f(2π,3),tanA=taneq \f(2π,3)=-eq \r(3),选D.
4.(文)(2013·合肥二检)△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若eq \f(c,b)cosA,则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
[答案] A
[解析] 依题意得eq \f(sinC,sinB)cosA,sinCsinBcosA,所以sin(A+B)sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA0,所以cosBsinA0.又sinA0,于是有cosB0,B为钝角,△ABC是钝角三角形,选A.
(理)(2014·东北三省三校二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且eq \f(c-b,c-a)=eq \f(sinA,sinC+sinB),则B=( )
A
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