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2016高二理科数学-同步训练题-选修2-2§131函数的单调性与导数练习(详细解析)
山西省2016高中数学课外巩固训练
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2015-2016学年选修2-2第一章
§1.3.1函数的单调性与导数练习
必做题
一、选择题
1.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间为( )
A.(-∞,-1]和[0,1] B.[-1,0]和[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]和[1,+∞)
[答案] A
[解析] y′=4x3-4x,令y′0,即4x3-4x0,解得x-1或0x1,所以函数的单调减区间为(-∞,-1)和(0,1),故应选A.
2.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则( )
A.a≤0 B.a1 C.a2 D.a≤eq \f(1,3)
[答案] A
[解析] f ′(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0.
3.(2015·吉林市实验中学高二期中)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
[答案] D
[分析] 由x0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0可确定F(x)=f(x)g(x)在x0时的单调性,再由f(x)与g(x)的奇偶性可得出x0时F(x)的单调性.再结合g(-3)=0,可得结论.
[解析] 设F(x)=f(x)g(x),当x0时,∵F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0.∴F(x)当x0时为增函数.
∵F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x).故F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0. 构造如图的F(x)的图象,可知F(x)0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).
故选D.
4.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] B
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力.
∵f(x)=2x+x3-2,0x1,∴f ′(x)=2xln2+3x20在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增.
又f(0)=20+0-2=-10,f(1)=2+1-2=10,f(0)f(1)0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点,
又函数y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点.
5.设f ′(x)是函数f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
[答案] C
[分析] 由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方),确定f(x)的单调性,对比f(x)的图象,用排除法求解.
[解析] 由f ′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f ′(x)0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f ′(x)0,f(x)为增函数.
只有C符合题意,故选C.
6.设函数F(x)=eq \f(f(x),ex)是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f ′(x)满足f ′(x)f(x)对于x∈R恒成立,则( )
A.f(2)e2f(0),f(2016)e2016f(0) B.f(2)e2f(0),f(2016)e2016f(0)
C.f(2)e2f(0),f(2016)e2016f(0) D.f(2)e2f(0),f(2016)e2016f(0)
[答案] C
[解析] ∵函数F(x)=eq \f(f(x),ex)的导数F′(x)=eq \f(f ′(x)ex-f(x)ex,(ex)2)=eq \f(f ′(x)-f(x),ex)0,
∴函数F(x)=eq \f(f(x),ex)是定义在R上的减函数,∴F(2)F(0),即eq \f(f(2),e2)eq \f(f(0),e0),故有f(2)e2f(0).
同理可得f(2016)e2016f(0).故选C.
二、填空题
7.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________________.
[答案] (-∞,-1)
[解析] 函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),
令f(x)=x2-x-2,f ′(x)=
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