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2016高二理科数学-同步训练题-选修2-2§13函数与导数综合问题练习(详细解析)
山西省2016高中数学课外巩固训练
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同步训练题(9)-选修2-2第一章 §1.3 函数与导数综合问题练习
1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(2),2)
解析:选D.由题意,设|MN|=F(t)=t2-ln t(t>0),令F′(t)=2t-eq \f(1,t)=0,得t=eq \f(\r(2),2)或t=-eq \f(\r(2),2)(舍去).
F(t)在(0,eq \f(\r(2),2))上单调递减,在(eq \f(\r(2),2),+∞)上单调递增,
故t=eq \f(\r(2),2)时,F(t)=t2-ln t(t>0)有极小值,也为最小值.即|MN|达到最小值,故选D.
2.f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=________.
解析:①当-1≤x<0时,a≤eq \f(3x-1,x3)=eq \f(3,x2)-eq \f(1,x3)对x∈[-1,0)恒成立,而当-1≤x<0时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x2)-\f(1,x3)))′=eq \f(3-6x,x4)>0,则y=eq \f(3,x2)-eq \f(1,x3)为[-1,0)上的增函数,从而eq \f(3,x2)-eq \f(1,x3)的最小值为4.于是a≤4.②当x=0时,f(x)≥0总成立.③当0<x≤1时,a≥eq \f(3x-1,x3)=eq \f(3,x2)-eq \f(1,x3)对x∈(0,1]总成立,而y=eq \f(3,x2)-eq \f(1,x3)的导数为y′=eq \f(3-6x,x4),令y′=0?x=eq \f(1,2),不难判断y=eq \f(3,x2)-eq \f(1,x3)在(0,1]的最大值为4,∴a≥4.于是a=4. 答案:4
3.设f ′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
[答案] D [解析] A中,当f(x)为二次函数时,f ′(x)为一次函数,由单调性和导数值的符号关系知A可以是正确的,同理B、C都可以是正确的,但D中f(x)的单调性为增、减、增,故f ′(x)的值应为正负正,因此D一定是错误的.
4.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f ′(x)的图象可能是( )
[答案] D[解析] 由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f ′(x)≤0,在(-∞,0)上f ′(x)≥0,故选D.
5.已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
[答案] B [解析] 由题可知g(x)=lnx-eq \f(1,x),∵g(1)=-10,g(2)=ln2-eq \f(1,2)=ln2-lneq \r(e)0,∴选B.
6.已知三次函数f(x)=eq \f(1,3)x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上是增函数,则m的取值范围是( )
A.m2或m4 B.-4m-2 C.2m4 D.以上皆不正确
[答案] D[解析] f ′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,由题意得x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7≥0恒成立,
∴Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=64m2-32m+4-60m2+8m+28=4(m2-6m+8)≤0,
∴2≤m≤4,故选D.
7.已知函数f(x)=eq \f(1,3)x3+eq \f(1,2)mx2+eq \f(m+n,2)x的两个极值点分别为x1、x2,且0x11x2,点P(m,n)表示的平面区域内存在点(x0,y0)满足y0=loga(x0+4),则实数a的取值范围是( )
A.(0,eq \f(1,2))∪(1,3) B.
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