一轮复习配套讲义第7篇第7讲立体几何中的向量方法证明平行与垂直.doc

第7讲　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 [必威体育精装版考纲] 1．理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知 识 梳 理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq \o(AB,\s\up12(→))为直线l的方向向量，与eq \o(AB,\s\up12(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.)) 2．空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0 辨 析 感 悟 1．平行关系 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(×) (2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√) 2．垂直关系 (3)已知eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2,2,1)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).(√) (4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√) [感悟·提升] 1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨． 2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线??平面外等. 学生用书第125页 考点一　利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 审题路线　若用向量证明线面平行，可转化为判定向量eq \o(MN,\s\up12(→))∥eq \o(DA1,\s\up12(→))，或证明eq \o(MN,\s\up12(→))与平面A1BD的法向量垂直． 证明　法一　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))， Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是eq \o(MN,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \o(DA1,\s\up12(→))＝(1,0,1)，eq \o(DB,\s\up12(→))＝(1,1,0)． 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 则n·eq \o(DA1,\s\up12(→))＝0，且n·eq \o(DB,\s\up12(→))＝0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0.)) 取x＝1，得y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)． 又eq \o(MN,\s\up12(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0， ∴eq \o(MN,\s\up12(→))⊥n， 又MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 法二　eq \o(MN,\s\up12(→))＝eq \o(C1N,\s\up12(→))－eq \o(C1M,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)e