空间几何(上篇)学案.doc

空解精要（简单部分） 序 空间解析几何，是数学专业基础课中最容易的一个板块。无需像高代一样必须参透一切，也不需像数分一样必须无限刷题。一般说来，只需要上课听讲，完成作业，然后稍微复习一下，便可以得到90分以上的成绩。那接下来就来了解一下空解的精要部分。 向量的三积 （注：在这里联系一下高代里面的“线性相关性”部分） 1.内积 定义：内积也成为向量的数量积，任取向量a,b,内积的值为 ，它是一个数量。用符号表示。 若a=,b=,则 2.射影和射影向量 射影向量：一个向量在另一个向量上的正投影向量叫做射影向 量。 射影：射影向量的模就叫做射影。记为：。表 示在上的射影。 命题：1. 2. 3. 例题1：已知向量a与b的夹角为，，计算 （1） ； （2）. 外积 定义：向量的外积也叫叉积或者向量积，它的积是一个向量。 a与b的外积记为，它的模是： ，它的方向与a和b都垂直，并且按 a，b，这一顺序成右手系。 外积不符合交换律。 由定义可知：两个向量共线的充要条件是外积为零向量。 如果a和b不共线，则的模表示以a，b为邻边的平行四 边形的面积。 若a=,b=，则 =，其中i.j,k是单位向量。 外积的运算律： 1.反交换律：= 2.数乘结合律：== 3.左右分配律：； . 于是，与a和b都垂直的向量可设为； 与a和b都垂直的单位向量可设为. 二重外积公式： 例题2：在直角坐标系中，已知，求与a， b都垂直，且满足下列条件之一的向量c： （1）c为单位向量； （2），其中. 3.混合积 定义：两个向量的外积向量再与第三个向量的内积，叫做三 个向量的混合积。 若a=,b=，c=，则的值为 命题1：三个向量共面的充要条件是混合积为0. 命题2：若a，b，c不共面，那么a，b，c的混合积表示以 a，b，c为邻棱的平行六面体的体积。 命题3：轮换混合积的3个因子，不改变它的值，而对调任 何2个因子，都要改变符号。 如：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,b,a)=-(b,a,c)=-(c,b,a) =-(a,c,b) 例题3：证明：如果，那么a，b，c共面。 二.平面和直线的渊源 注意：在这之后的平面与直线方程都是在直角坐标系中表 示的，不考虑仿射标架中的。 （一）.平面的方程 1.点位式方程 我们知道，由于直线和直线外一点可以确定一个平 面，设一条直线的方向向量为v=（X，Y，Z），直线 上一点为，直线外一点为，于 是可以用一组混合积来表示平面： =0 ，其中 用行列式表示为： 由于结果是0，所以根据行列式的性质，里面的行列 顺序可以随便写。 2. 一般式方程 我们明显可以发现，把点位式的方程行列式按照未 知量所在的行展开可以得到一个关于x,y,z的三元一 次方程，记为Ax+By+Cz+D=0。这样的方程叫做平面的 一般方程，也是解题所需要的最终结果形