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1 三维快速拉格朗日法的基本原理
1.1 概述
目前在岩土力学中常用的数值计算方法有差分方法、有限元法、边界元法等几种，特别是后两种方法，随着计算机的发展其应用尤为广泛。但是，这几种方法都是以连续介质为出发点，而且往往囿于小变形的假定。它们虽然也可以用来解决由几种介质所组成的非均质的问题，并且对于个别的断层或弱面，也可以用设置节理单元的办法来解决，但是用以解决富含节理和大变形的岩土力学问题，往往所得的结果与实际的物理图景相差甚远。于是离散单元法和拉格朗日元法就应运而生。
离散单元法是Cundall于上世纪70年代初所提出的。该法将为弱面所切割的岩体视为复杂的块体的集合体，允许各个块体可以平移或转动，甚至相互分离。拉格朗日元法则是由Cundall所加盟的美国ITASCA咨询集团于1986年所开发的。该法将流体力学中跟踪流体运动的拉格朗日方法应用于解决岩体力学的问题获得成功。
三维快速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法，它可以模拟岩土或其他材料的三维力学行为。三维快速拉格朗日分析将计算区域划分为若干四面体单元，每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系，如果单元应力使得材料屈服或产生塑性流动，则单元网格可以随着材料的变形而变形，这就是所谓的拉格朗日算法，这种算法非常适合于模拟大变形问题。三维快速拉格朗日分析采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程，并应用了混合单元离散模型，可以准确地模拟材料的屈服、塑性流动、软化直至大变形，尤其在材料的弹塑性分析、大变形分析以及模拟施工过程等领域有其独到的优点。
1.2 三维快速拉格朗日分析的数学模型
三维快速拉格朗日分析在求解中使用如下3种计算方法：(1)离散模型方法。连续介质被离散为若干六面体单元，作用力均被集中在节点上。(2)有限差分方法。变量关于空间和时间的一阶导数均用有限差分来近似。(3)动态松驰方法。由质点运动方程求解，通过阻尼使系统运动衰减至平衡状态。
1.2.1 空间导数的有限差分近似
快速拉格朗日分析采用混合离散方法，将区域离散为常应变六面体单元的集合体，又将每个六面体看作以六面体角点为角点的常应变四面体的集合体，应力、应变、节点不平衡力等变量均在四面体上进行计算，六面体单元的应力、应变取值为其内四面体的体积加权平均。这种方法既避免了常应变六面体单元常会遇到的位移剪切锁死现象，又使得四面体单元的位移模式可以充分适应一些本构的要求，如不可压缩塑性流动等。
图1-1 四面体单元的面和节点
如一四面体,节点编号为1到4，第n面表示与节点n相对的面，设其内一点的速率分量为vi,由高斯公式得：
(1-1)
其中V为四面体的体积，S为四面体的外表面，nj为外表面的单位法向向量分量。对于常应变单元，vi为线性分布，nj在每个面上为常量。对式(1-1)积分得：
（1-2）
式中，上标（f）指面f的相关变量值，指i速度分量的均值。若速度呈线性变化，则：
（1-3）
上标l指节点l的值。
将上式代入式（1-2），有：
（1-4）
在式（1-1）中，若vi=1，应用高斯法则可得：
（1-5）
所以，式（1-4）两边同除以V，则有：
（1-6）
而应变速率张量则可由下式表示：
应变速率张量的分量形式为：
(1-7)
1.2.2 节点运动方程
一定时域内，静力平衡问题可通过以下的平衡方程求解得到：
(1-8)
式中：ρ为介质密度，，bi为介质单位质量的体积力。
根据虚功原理，作用于单个四面体上的节点力fl（l=（1,4））与四面体应力和等效体力相平衡。引入节点虚速度δvl（它在四面体中产生线性速度场δv和常应变速率δξ），则节点力Fl和体力B产生的外力功功率等于内部应力σij产生的内力功功率。
外力功功率可表示为：
（1-9）
而内力功功率：
（1-10）
由式（1-7），对常应变速率的四面体有：
（1-11）
应力张量是对称张量，定义矢量Tl：
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