08 线性代数的基本问题探究.pdf

天测二 高等数学卷第二 线性代数第七 Yz.Liu.201404 章 D.8 终章：线性代数的基本问题探究 本章旨在将一些更特殊更广义的问题集中在一起，来讨论线性代数的使用和它的一些 变式，以及对一些题目的解法举一反三，对一些定理和概念进行推广。由于推广的需要，可 能需要很多的实际范例来更好的说明。 1 由行列式的定义引发的问题讨论 1.1 行列式的正项或负项的求和项数计算 1.2 缺行范德蒙行列式的计算本质 1.3 行列式所有列之和为同一常数之情形 (可类比解决所有行之和为同一常数之情形) 1.4 以递归公式计算行列式 (类似于降阶) 2 相似变换与线性变换 2.1 相似变换 2.2 正交矩阵与正交变换 3 解矩阵方程 3.1 对关于 X的形如 A? X ? B ? O,(det( A ) ? 0)的矩阵方程之讨论 3.2 对关于 X的形如 A? X ? B ? C,(det( A ) ? 0,det( B ) ? 0)的矩阵方程之讨论 3.3 矩阵的幂 附表：一些常用二次曲线接受正交变换之后的结果 天测二 高等数学卷第二 线性代数第七 Yz.Liu.201404 1 由行列式的定义引发的一些问题讨论 1.1 行列式的正项或负项的求和项数计算 a11? a 1n 关于行列式的展开，对于任何一个行列式 ? ? ，根据定义可展开为： an1 ? a nn a11? a 1n ? ? ?( ? 1)? (j1 ,..., jk ) a ? ? kjk ? (j1 ,..., jk ) 1?k ? n an1 ? a nn 其中连乘式 (? 1)? (j1 ,..., jk ) a 称之为行列式展开和式的求和项。可见，求和项的正负将由连 ? kjk 1?k ? n 乘部分与幂部分。当求和项为负时，称其为负项，求和项为正时，称其为正项。对于正负项 之间的讨论，主要问题在于如何算出其正项的总数(求和正项的项数)与负项的总数(求和负项 的项数)。 如果所给行列式的元的绝对值均为 1，那么这个问题并不难于讨论，我们只需要先算 出行列式的结果 D，然后设正项总和(求和正项的总和)为 x ，负向总和(求和负项的总和)为 y ，注意到连乘式的绝对值始终为 1，因此正项总和就是正项总数，负项总和就是负项总数。 由方程组 ?x? y ? D ? ?x?| y | ? x ? y ? n ! 即可确定其正项数和与负向总数。 由此可以类比到一切行列式的正项总数和负项总数的计算中去。 a11? a 1n 例如求 ? ? ?|A |的正项总数，先对每个元素取符号函数 an1 ? a nn sgn(a11 )? sgn( a 1n )