09.稀疏矩阵.pdf

下载 第9章 稀 疏 矩 阵 在许多问题中提到了含有大量 0元素的矩阵，这样的矩阵称为稀疏矩阵。比如求解普通或 者部分微分方程的数值解。为了节省存储空间和计算时间， M AT L A B考虑到矩阵的稀疏性， 在对它运算时有特殊的命令。 9.1 矩阵为什么稀疏 一个稀疏矩阵中有许多元素等于零，这便于矩阵的计算和保存。如果 M AT L A B把一个矩 阵当作稀疏矩阵，那么只需在 m×3的矩阵中存储m个非零项。第 1列是行下标，第 2列是列下 标，第3列是非零元素值，不必保存零元素。如果存储一个浮点数要 8个字节，存储每个下标 要4个字节，那么整个矩阵在内存中存储需要 1 6×m个字节。 ■ 例9 . 1 A = e y e ( 1 0 0 0 ) ; 得到一个1 0 0 0×1 0 0 0的单位矩阵，存储它需要 8 Mb空间。如果使用命令： B = s p e y e ( 1 0 0 0 ) ; 用一个 1 0 0 0×3的矩阵来代表，每行包含有一个行下标、列下标和元素本身。现在只需 1 6 K b的空间就可以存储 1 0 0 0×1 0 0 0的单位矩阵，它只需要满单位矩阵的 0 . 2 %存储空间。对于 许多的广义矩阵也可这样来作。 稀疏矩阵的计算速度更快，因为 M AT L A B只对非零元素进行操作，这是稀疏矩阵的第二 个突出的优点。 ■ 例9 . 2 假设矩阵A、B和例9 . 1中的矩阵一样。计算 2*A需要一百万次的浮点运算，而计算 2*B只 需要2 0 0 0次浮点运算。 因为M AT L A B不能自动创建稀疏矩阵，所以要用特殊的命令来得到稀疏矩阵，在下一节 中将给出这些命令。前面章节中的算术和逻辑运算都适用于稀疏矩阵。 9.2 创建和转换稀疏矩阵 在M AT L A B中，用命令s p a r s e来创建一个稀疏矩阵。 命令集8 7 创建稀疏矩阵 s p a r s e ( A ) 由非零元素和下标建立稀疏矩阵 A。如果A已是一个稀疏 矩阵，则返回A本身。 s p a r s e ( m , n ) 生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 ■ ■ s p a r s e ( u , v , a ) 生成一个由长度相同的向量 u，v和a定义的稀疏矩阵。其 中u和v是整数向量， a是一个实数或者复数向量。 (u i, v i) 对应值 a i，如果 a中有零元素，则将这个元素排除在外。 稀疏矩阵的大小为m a x (u)×m a x (v)。 s p a r s e ( u , v , a , m , n ) 生成一个m×n的稀疏矩阵，(ui, vi)对应值ai。向量u，v和a 必须长度相同。 s p a r s e ( u , v , a , m , n , 生成一个m×n的含有n z m a x个非零元素的稀疏矩阵。 (ui, n z m a x ) vi)对应值ai。n z m a x的值必须大于或者等于向量u和v的长度。 f i n d ( x ) 返回向量 x中非零元素的下标。如果 x=X是一个矩阵，那 么X的向量就作为一个长向量来考虑。 [ u , v ] = f i n d ( A ) 返回矩阵A中非零元素的下标。 [ u , v , s ] = f i n d ( A ) 返回矩阵A中非零元素的下标。用向量s中元素的值及u和v中 相应的下标，实际上就是向量u、v和s作为命令s p a r s e的参数。 s p c o n v e r t ( D ) 将一个有三列的矩阵转换成一个稀疏矩阵。 D中的第1列作 为行的下标，第2列作为列的下标，最后一列作为元素值。 而且可以使用命令 f u l l将稀疏矩阵转换成一个满矩阵。 命令集8 8 转换成满矩阵 f u l l ( S ) 将稀疏矩阵S转换成一个满矩阵。 ■ 例9 . 3 (a) 创建一个5×5的单位矩阵： A = e y e ( 5 ) 将矩阵A转换成稀疏矩阵B： (b) 假设M AT L A B中给出如下的向量： 这样就有了行向量，但是也可使用列向量。运行命令S m a t r i x = s p a r s e ( i n d 1 , i n d 2 , n u m b e r )， 结果为： 1 2 4 M ATLAB 5 手册 下载 其中有去掉了两个零元素。将这个矩阵转换成满矩阵，输入： F u l l m a t r i x = f u l l ( S m a t r i x ) 得到的结果为： 注意，稀疏矩阵和得到的满矩阵的大小是分别是由 i n d 1和i n d 2中最大元素值确定的，即 使相应的值是零，并且在列出的稀疏矩阵中去掉这个值。 输入命令w h o s可得到： 可以看出虽然两个矩阵的大小相同，但是其中稀疏