10传热学数值方法_235802549.pdf

第七讲 1 第四章 导热问题的数值解法 第七讲 2 导热问题求解的三种基本方法： (1) 理论分析法； (2) 数值计算法； 2 2 2 2 2 2 p t t t tc x y z λ ρ τ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + + +Φ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 导热微分方程 定解条件：初始条件，边界条件 t = f(x, y, z, τ)如何获得问题的解？ (3) 实验法 第七讲 3 (1)分析法: 能获得所研究问题的精确解，为实验和数值计 算提供比较依据;分析解具有普遍性，各种影响因素及其 影响规律清晰可见; 不足：局限性很大，对复杂的问题无法求解； (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成 本低。 不足：要引入假设，计算结果准确性需要验证 (3) 实验法:传热学基本的、最为可靠的研究方法。 不足：适应性不好；获得的信息量有限；费用昂贵。 三种方法的特点 第七讲 4 4.1 数值解法的基本思想和求解思路 将时间和空间坐标系中的连续物理量场用 有限个离散点上的物理量的值的集合来代替； 由基本物理定律（能量守恒定律，傅立 叶导热定律等）出发，建立关于离散点上的 物理量的代数方程组； 通过数值方法求解该代数方程组，获得 所要求的物理量场。 第七讲 5 物理问题的数值求解过程框图 数学模型 的建立 代数方程 的求解 第七讲 6 4.2 节点离散方程的建立 用平行于坐标轴的若干条 线将区域划分为若干单元，交 点为节点，两节点之间的距离 为步长。 对于非稳态导热问题，两 时间间隔称为时间步长。 以矩形域内的二维稳态 导热问题为例 第七讲 7 一、内部节点的离散方程的推导 第七讲 8 1、Taylor级数展开法 ( ) ( ) + ∂ ∂∆ + ∂ ∂∆ +∆ ∂ ∂ +=+ nmnmnm nmnm x tx x txx x ttt , 3 33 , 2 22 , ,,1 !3!2 ( ) ( ) + ∂ ∂∆ − ∂ ∂∆ +∆ ∂ ∂ −=− nmnmnm nmnm x tx x txx x ttt , 3 33 , 2 22 , ,,1 !3!2 ( ) 2 1, , 1, 2 22 , 2 ( )m n m n m n m n t t tt o x x x − +− +∂ ∆ ∂ ∆ ＝ ＋两者相加，得： 分别将节点（m+1,n)和(m-1,n)处的温度 在节点(m,n)处作Taylor展开： 第七讲 9 ( ) 2 , 1 , , 1 2 22 , 2 ( )m n m n m n m n t t tt o y y y − +− +∂ + ∆ ∂ ∆ ＝同理 ( ) ( ) 0 22 2 1,,1, 2 ,1,,1 = ∆ +− + ∆ +− +−+− y ttt x ttt nmnmnmnmnmnm 代入原导热微分方程: 忽略截断误差0(△x2)和0(△y2)后，得到 关于节点（m，n）温度tm,n的代数方程： 2 2 2 2 0 t t x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ 第七讲 10 若∆x=∆y，则有： ( ), 1, 1, , 1 , 1 / 4m n m n m n m n m nt t t t t− + − += + + + 稳态、常物性、无内热源的二维导热，当 ∆x=∆y时，任一内部节点的温度应等于其周围 四个节点温度的算术平均值。 推论：无内热源时，最高温度与最低温 度一定在边界上，等温线要么为域内的封闭 曲线，要么终止在边界上。 第七讲 11 2、热平衡法 1, , 1, , , 1 , , 1 , 0 m n m n m n m n m n m n m n m n t t t t y y x x t t t t x x y y λ λ λ λ − + − + − − ∆ + ∆ ∆ ∆ − − + ∆ + ∆ = ∆ ∆ 若热导率为常数，且∆x=∆y，则： ( ) 4/1,1,,1,1, +−+− +++= nmnmnmnmnm ttttt 将傅里叶定律和热力学第一定律直接用于控制单 元体。 导入控制单元体的净热量为0 第七讲 12 二、边界节点离散方程的推导 （用于第二类和第三类边界条件） 边界节点的离散方程一般用热平衡法推导 边界节点的三种类型 第七讲 13 1、平直边界上的节点 0 22 ,1,,1,,,1 =∆+ ∆ −∆ + ∆ −∆ + ∆ − ∆ +−− yq y ttx y ttx x tt y w nmnmnmnmnmnm λλλ 将傅里叶定律和热 力学第一定律直接用于 边界节点的控制单元 体，即导入控制单元体 的净热量为0： 对于第二类边界条件 第七讲 14 1, , , 1 , , 1 , ,( ) 02 2 m n m n