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实验一:低通采样定理和内插与抽取实现
实验目的
1. 连续信号和系统的表示方法,以及坊真方法。
2. 用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法,
3. 采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。
4. 用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。
5. 用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法,实验数据的可视化表示。
原理
1 、时域抽样定理
令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(j),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(j),抽样后的信号x^(t)的傅里叶变换为X^(j)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为s=2fs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x^(t)=xa(t) p(t),又周期信号f(t)傅里叶变换为:
故可以推得p(t)的傅里叶变换为:
其中:
根据卷积定理可知:
得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为:
其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(j)是连续信号频谱X(j)的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。因为Pn只是n的函数,所以X(j)在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x(t)的频谱限制在-m~+m的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(j)是以s为周期重复。显然,若在抽样的过程中s2m,则X^(j)将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足s=2m条件,X^(j)才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。
2、信号的重建
从频域看,设信号最高频率不超过折叠频率:
Xa(j)=Xa(j) ||s/2
Xa(j)=0 ||s/2
则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有:
让取样信号x^(t)通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器:
H(j)=T ||s/2
H(j)=0 ||s/2
滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故:
Y(j)=X^(j)H(j)=Xa(j)
因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号:
y(t)=xa(t)
从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为:
根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为:
由上式显然可得:
则:
上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率,连续时间函数xa(t)就可用他的取样值xa(nT)来表达而不损失任何信息,这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa(t),在每一取样点上,由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零,所以各个取样点上的信号值不变。
内容
1.连续时间信号线性滤波实现
设计一个Butterworth模拟带通滤波器,设计指标为:通带频率:1000- 2000Hz,两侧过渡带宽500Hz,通带波纹1dB,阻带衰减100dB。假设一个信号,其中f1=100Hz,f2=1500Hz,f3=2900Hz。信号的采样频率为10000Hz。试将原信号与通过该滤波器的模拟信号进行比较。参考程序如下:
wp=[1000 2000]*2*pi;ws=[500 2500]*2*pi;Rp=1;Rs=100; %滤波器设计参数,对于给定Hz应乘以2
[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s); %求得滤波器的最小阶数和截止频率?
w=linspace(1,3000,1000)*2*pi;?? %设置绘制频率响应的频率点
[b,a]=butter(N,Wn,s);??? %设计模拟Butterworth滤波器
H=freqs(b,a,w);??? %计算给定频率点的复数频率响应
magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H)); %计算幅频响应和相频响应
plot(w/(2*pi),20*log10(magH));? %以频率为横坐标绘制幅频响应
xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅/dB);
title(Butterworth模拟带通滤波器);
hold on;plot([1000 1000],ylim,r);plot([2000 2000],ylim,r);%绘通带边界grid on
figure(2)
dt=1/10000;? %模拟信号采样间隔
f1=100;f2=1500;f3=2900;%输入信号的三个频率成分
t=0:dt:0.04;? %给定模拟时间段
x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t); %输入信号
H=[tf(b,a)];???? %滤波器在MATLAB系统中的表示
[y,t1]=lsim(H,x,t);?? %模拟输出
subplot(
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