椭圆方程数值解学案.doc

j. 椭圆方程数值解法 本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩形网和三角网上的差分法。然后以一维二阶椭圆方程为例，简要描述有限元法的基本思想。 J.1 矩形网上差分方程 考虑二维区域（区域=连通的开集）上的二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题 （j.1） 其中,是常数；；；是给定的光滑函数；是的边界；。假设（J.1）存在光滑的唯一解。 考虑一种简单情形，即求解区域是矩形区域，并且其四个边与相应坐标轴平行。令和分别为和方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域，构造矩形网格： 为网格内点节点集合，为网格边界节点集合，。 对于内点，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）： (J.2) 其中。（J.2）通常称为五点差分格式。 方程（J.2）可以整理改写为 （J.3） ++++ 对每一内点都可以列出这样一个方程。方程中遇到边界点时，注意到边界点上函数值已知，将相应的项挪到右端去。最后得到以的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当和足够小时是对角占优的。 用（J.1）的真解在网点上的值、等等分别替换（J.2）中的、等等，然后在点处作Tailor展开，便知差分方程（J.2）逼近微分方程（J.1）的截断误差阶为。另外可以证明，五点差分格式的收敛阶为，并且关于右端和初值都是稳定的。 矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。但是，当是非矩形区域，并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在矩形网格边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密网格。 图J.1 一般区域的矩形网格 J.2. 三角网差分格式 本节我们将积分插值法用于三角网，建立三角网差分格式。三角网差分格式具有网格灵活和法向导数边界条件易于处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒），深受使用者欢迎。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。 考虑有界区域上的Poisson方程 （J.4） ， 在边界的各个部分、和分别给定第一、第二和第三边值条件： （J.5a） （J.5b） （J.5c） 其中是常数，是边界的外法向。 作的三角剖分：在上取一系列点，连成闭折线，并记为由围成且逼近的多边形区域。将分割成有限个三角形之和，使每个三角形的每个内角不大于，并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不相交，或者相交于顶点。 引入如下术语。节点：三角形的顶点；单元：每个三角形；相邻节点：同一条边上的两个节点；相邻单元：有一条公共边的两个三角形。对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。 图J.2 三角网及其对偶剖分 图J.3 内点(a)与边界点(b)的对偶单元 ， ， ， ， 对于和，分别利用右矩形公式和梯形公式计算所涉及到的积分，导出如下差分近似： 这里。将上述六个公式带入（J.6）中，就得到边界点的差分方程。所有内点和边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组，其系数矩阵是稀疏的，并且当时是对称的。 J.3 椭圆方程的有限元法 有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程（微分积分方程），从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元（有限元），构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。 函数集合 作为例子，我们将考虑区间上的椭圆微分方程。用表示在上勒贝格平方可积函数的集合，表示本身以及直到阶的导数都属于的函数的集合。我们下面用到的主要是。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于，其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到函数集合。 变分方程 考虑两点边值问题 （J.7a） （J.7b） （J.7c） 其中都是区间上的