(数学选2-1)第二章 圆锥曲线(椭圆 双曲线 抛物线)解答题精选 2012高考必备.doc

（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线解答题精选 5、设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直 线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为； （1）求椭圆的焦距； （2）如果,求椭圆的方程. 解：（1）设焦距为，由已知可得到直线的距离，故， 所以椭圆的焦距为4； ………………………… 4分 （2）设，由题意知 直线的方程为 联立 得， 解得， …………………………… 8分 因为，所以 即 得，又，故 故椭圆的方程为. ……………………………………… 12分 6．已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点． （1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程； （2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为, 将代入, 消去整理得， ………………… 2 分 设, ① ② 则 由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合① 所以直线的方程为或； ……………… 5分 （2）假设在轴上存在点，使为常数． （ⅰ）当直线与轴不垂直时，由（1）知 ， ③ 所以 ； …………………………7分 将③代入，整理得 ， 注意到是与无关的常数，从而有， 此时 ； ……………………………………………… 10分 （ⅱ）当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为， 当时，亦有 ； 综上，在轴上存在定点，使为常数. …………… 12分 例7.已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且. (1)求椭圆的方程; (2)已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).问点是否总在某一定直线上?若在,求出这条直线,否则,说明理由. 分析:由抛物线的定义得,进而得点M的坐标,代入椭圆的方程可得的值;对于(2)需实行整体运算. 解析: (1)由知,设,因在抛物线上, 故…① 又,则……②,由①②解得,.而点椭圆上, 故有,即…③,又,则…④ 由③④可解得,,∴椭圆的方程为. (2)设,, 由可得:,即 由可得:,即 ⑤⑦得:,⑥⑧得: 两式相加得 又点在圆上,且,所以, 即,∴点总在定直线上. 例8、设函数,曲线在点处的切线方程为 .(1)求的解析式 (2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 解:(1)方程可化为,当; 又,于是,解得 故 (2)证明:设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为,即 令,得,从而得切线与直线的交点坐标为; 令,得,从而得切线与直线的交点坐标为; 所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为; 故曲线上任一点处的切线与直线,所围成的三角形面积为定值,此定值为6. 例9已知二次函数f(x)=ax+x. 对于?x∈［0,1］，|f(x)| ≤1成立，试求实数a的取值范围. 解：|f(x)| ≤1?-1≤f(x) ≤1?-1≤ax+x≤1，x∈[0,1] ……① 当x=0时，a≠0，①式显然成立; 当x∈（0，1]时，①式化为--≤a≤-在x∈(0,1] 上恒成立. 设t=，则t∈[1,+∞),则有－t－t≤a≤t-t,所以只须 -2≤a≤0,又a≠0,故-2≤a＜0 综上，所求实数a的取值范围是[-2,0) 例10．已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围. ［剖析］先将，化简，由“或”为真命题时推出的取值范围，而是假命题为其反面情况，进而求解。 ［解］由，得，显然，或 ，故或，， 又“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，，或，命题“或”为真命题时，或 命题“或”是假命题，的取值范围为或. ［警示］本题涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集、“或”的复合问题，其实关于“或”与“且”这两类复合命题的判断与解答题目，在解答时只注意层层推进先将化简，然后根据题设条件推出所有的情况。 19、(12分) 如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程. 解:切线与直线平行, 斜率为4 又切线在点的斜率为 ∵,∴,有,或, ∴切点为或, 切线方程为或, 即或. 已知函数,设曲线在点处的切线为,若与圆相切,求的值. 解:依题意有:, ………………3分 ………………4分 的方程为…………6分 与圆相切, ∴的值为.……………………………12分 18、(12分) 设函数,且为奇函数. (1)求的值; (2)求的最值. 解:(1) ,