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工科高数（2005年第二学期） PAGE  PAGE 8 华南农业大学期末考试试卷（A）卷 2005学年第2学期 高等数学（工科） 考试时间：120分钟 一.填空题（每题3分，共24分） 1.已知函数，在点处对的一阶导数_____ 解答： 2.设，则在极坐标系下的二次积分为_____ 解答：积分区域就是，因此 3.设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅立叶级数在时收敛于_____ 解答：函数在处间断，且，从而傅立叶级数在处收敛于 4._____ 解答： 5.函数在点处的全微分为_____ 解答：， ， 从而函数在该点处的全微分为 6.若级数发散，则_____ 解答： 7.设由方程确定隐函数，则_____ 解答1：两边对x求偏导得，从而 解答2：两边微分得 整理得，即 于是 8.微分方程的通解为_____ 解答：特征方程为 解得 因此原方程的通解为 二.选择题（每题2分，共16分） 1.微分方程的特解是（ ） A. B. C. D. 解答：分离变量得 两边积分得 代入初始条件得，从而特解为 选A 2.设点是函数的驻点，则函数在处（ ） A.必有极大值 B.可能有极值，也可能无极值 C.必有极小值 D.必无极值 解答：选B 3.二重积分（ ），其中区域所围成的闭区域 A. B. C. D. 解答：用极坐标系计算 选B 4.若在点处可微，则在点处沿任何方向的方向导数（ ） A.必定存在 B.必定不存在 C.可能存在也可能不存在 D.仅在轴轴方向存在，其它方向不存在 解答：选A 5.若是以为顶点的三角形的边界，则（ ） A. B. C. D. 解答：OA段的参数方程为，因此 AB段的参数方程为，因此 OB段的参数方程为，因此 从而 选C 6.设区域为开区域，函数在内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在内与路径无关的充分必要条件是（ ） A. B.任取区域内一条闭合曲线，有 C.存在一个二元函数，使得 D.以上答案都正确 解答：选D 7.设表示平面上被三个坐标面截下的部分，则为（ ） A.1 B. C. D. 解答：曲面的方程为，在xOy面上的投影D为x轴、y轴、所围区域，因此 选B 8.设，则（ ） A. B. C. D. 解答： 选D 三.（本题13分）计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域 解答1：由立体的形状及积分函数的特点，选先算二重积分再算一重积分的方法，把z放在最外层积分。 在z轴上的投影为，当时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面为；当时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面为，从而 解答2：用柱面坐标系计算 在xOy面上的投影D为，又，因此 四.（本题13分）计算曲线积分，其中为下半圆周，沿顺时针方向 解答：直接计算非常麻烦，用格林公式就很简单，注意到，因此可以用积分与路径无关 设为，x从3到-1，由于，因此积分与路径无关。而L与的起点终点相同，从而 五.（本题13分）求级数的收敛区域以及和函数 解答：该幂级数不能直接用定理求收敛半径，要用定理的推导思路去求 由比值审敛法，当，即时，级数绝对收敛，当，即时，级数发散 而当时，级数成为，一般项不趋于0，显然发散；当时，级数成为，发散 从而原级数的收敛域为 令，两边积分得 两边求导得 即 六.（本题10分）设曲面是的外法线方向余弦，求 解答：由高斯公式得 七.（本题11分）试证曲面上任意一点处的切平面与各坐标轴上的截距之和等于 解答：设为曲面上任意一点，则该点处的??向量为 从而M处的切平面方程为 即 因此切平面在三个坐标轴上的截距分别是，截距之和为