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PAGE  PAGE 10 （四）数列的通项公式 一、知识归纳： 求数列通项公式的常见题型与方法： 1．由数列的前几项，考察各项与项数之间的关系，归纳出数列的通项公式。 2．利用“归纳—猜想—证明”的方法求通项。 3． 利用与的关系：，求通项。 4．根据数列的递推公式求数列的通项公式，其中常用方法有： （1）构造法：通过构造特殊的数列（如等差、等比数列等），从而求出数列的通项公式的方法。这是一种较常用的方法。 （2）迭代法：将递推公式适当变形后，用前面的项逐步代替后面的项，重复此步骤，最后 在一般项和初始条件之间建立某种关系从而求出通项的方法。具体体现为累加法和累积法求通项公式。 （3）待定系数法：即先设定数列通项的基本形式，再由已知条件求出待定系数的方法。 二、学习要点： 1． 求数列通项公式的常用方法是运用等差、等比数列的通项公式；或将数列进行适当的变形，转化为可求通项的数列。 2．对与的关系要记熟，并能灵活运用。一般涉及与的问题，总离不开两者隐含的关系。 3．掌握一些简单递推数列求通项的基本方法。如累加、累乖、待定系数法等。 其中累加的公式： 累乖的公式： 三、例题分析： 例1．已知数列的首项 （1）若，则__________； （2）若，则_________ （3）若，则__________；（4）若，则_______ （5）若，则__________； （6）若，则__________； （7）若，则__________。 例2．设数列的各项都是正数，且，其中Sn是数列的前n项和 （1）求证：； （2）求数列的通项公式。 例3．已知数列的前n项和 满足（）， （1）写出数列的前三项，，；（2）求通项 四、练习题： 1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为 A． B． C． D．不存在 2．在数列中，， ，则 A. B. C. D. 3．数列中，a1=1，对于所有的，都有，则等于 A. B. C. D. 4．下列各式中，可以作为数列的通项公式的是： A． B． C． D． 5．在数列中，，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A．289 B．1024 C．1225 D．1378 7．数列的前n项和，而，通过计算，，猜想 A． B． C． D． 8．数列中，，则数列｛an｝的通项公式是： A． B． C． D． 9．数列中，若，且，则的值是________. 10．数列满足，则__________. 11．已知数列满足，，，且， 则数列的通项公式是____ __。 12．已知数列的前n项和，， ，通过计算 可以猜想___ ___________, 13．已知数列满足 （1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式； 14．已知数列{an}的前n项和为，且，数列满足， 求， 15．已知数列满足，且 （1）求的值；（2）若数列为等差数列，求常数的值；（3）求数列的通项。 16．已知数列的前n项和为，且对任意正整数都有． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 17.设数列的前项和为 已知 （1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。 18.已知数列的前n项和为，点在曲线上，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列的首项，前项和为，且满足， 求数列的通项公式； （3）（理科）求证：. （四）数列的通项公式参考答案 三、例题分析：例1．已知数列的首项 （1）若，则_____；（2）若，则_______ （3）若，则______；（4）若，则___ （5）若，则 （6）若，则 （7）若，则 解：（5）（解法一）：由已知有，则当时，有 故 又适合上式，故（） （解法二）：归纳，猜想（略） 例2．设数列的各项都是正数，且，其中Sn是数列的前n项和 （1）求证：； （2）求数列的通项公式。 例2．（1）证明：当时，，又，故 当时，有 两式相减得： 则 ， 又适合上式，故， （2）解：由（ = 1 \* ROMA