010_41_高等代数.doc

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲 考试科目代码：[841] 考试科目名称：高等代数 一、试卷结构 1) 试卷成绩及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2)答题方式：闭卷、笔试。 3)试卷内容结构 北京大学数学系所编的高等代数第一章至第九章。 4)题型结构 a: 填空题，5小题，每小题6分，共30分； b: 计算题，4小题，每小题15分，共60分； c: 证明题，4小题，每小题15分，共60分。 二、考试内容与考试要求 1、多项式 考试内容 数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。 考试要求 掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域。 正确理解数域P上一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。 正确理解整???的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。 正确理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。了解因式分解定理。 正确理解和掌握k重因式的定义。 掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。 正确理解和掌握本原多项式的定义及性质。 掌握整系数多项式的有理根的计算。 了解多元多项式的基本概念。 2、行列式 考试内容 排列，n级行列式的定义，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式的计算，克拉默(Cramer)法则，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法规则。 考试要求 理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。 深刻理解和掌握n级行列式的定义，并能用定义计算一些特殊行列式。 熟练掌握行列式的基本性质。 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握计算行列式的基本方法与技巧。 熟练掌握克拉默(Cramer)法则， 了解拉普拉斯(Laplace)定理，能初步利用行列式的乘法规则解决简单的问题。 3、线性方程组 考试内容 消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。 考试要求 正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算规律和性质。 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，并会求向量组的一个极大无关组。 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系。了解解空间的概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。 4、矩阵 考试内容 矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。 考试要求 掌握矩阵的的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。 5、二次型 考试内容 二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。 考试要求 正确理解二次形和非退化线性替换的概念，掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，掌握矩阵的合同概念及性质。 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种基本方法。 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，了解符号差、惯性指数等概念，掌握惯性定理的证明思想。 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。 6、线性空间 考试内容 集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐