14_15第十章代数系统.ppt

第九章 代数系统 第一节 二元运算及其性质 第二节 代数系统 第九章 总结 作业 1, 7, 8, 15, 16 * 主要内容 二元运算及其性质 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统 代数系统定义及其实例 子代数 与后面各章的关系 是后面典型代数系统的基础 二元运算与一元运算的定义 1. 二元运算的定义与实例 定义.1 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算, 简称为二元运算.例加法乘法是N上的二元运算减法和除法不是. 加法、减法和乘法是整数集合Z上的二元运算而除法不是. （3）乘法、除法是非零实数集R*上的二元运算，加法、减法不是. （4）设S={a1,a2,…,an}, ai(aj =ai为S上二元运算. （5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合即  则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.S为任意集合则、∩、－、(P(S)上的二元运算SS为S上的所有函数的集合则合运算(为SS上的二元运算. 2. 一元运算的定义与实例 定义.2 设S为集合函数f：S→S称为S上的一元运算简称为一元运算. 例求相反数是整数集合Z有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.? 求倒数是非零有理数集合Q*非零实数集合R*上的一元运算.? 求共轭复数是复数集合C上的一元运算.? 在幂集P(S)上规定全集为S则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算.? 设S为集合令A为S上所有双射函数的集合A(SS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算. 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算 二、二元与一元运算的表示 可以用(?, · , (, (,( 等符号表示二元或一元运算称为算符. 对二元运算(如果x与y运算得到z记做x(y = z；对一元运算, x的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法解析公式和运算表  例 设R为实数集合如下定义R上的运算?：x,y∈R, x?y = x. 那么 3?4 = 3， 0.5?((3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） 二元运算的运算表 一元运算的运算表 ( a1 a2 … an ai (ai a1 a2 . . . an a1(a1 a1(a2 … a1(an a2(a1 a2(a2 … a2(an . . . . an(a1 an(a2 … an(an a1 a2 . . . an (a1 (a2 (an 例 A=P({a,b}), (,～分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集） (的运算表 ～的运算表 ( ( {a} {b} {a,b} x ～x ( {a} {b} {a,b} ( {a} {b} {a,b} {a} ( {a.b} {b} {b} {a,b} ( {a} {a,b} {b} {a} ( ( {a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a} ( 三、二元运算的性质 1．主要算律 定义.3~9.5 设(为S上的二元运算, 对于任意的x,yS有 x(y=y(x, 则称运算在S上满足交换律. 对于任意的x,y,zS有 (x(y)(z=x((y(z),则称运算在S上满足结合律. 对于任意的xS有 x(x=x, 则称运算在S上满足幂等律.定义.6~9.7 设(和?为S上两个不同的二元运算,对于任意的x,y,zS有 (x(y) ?z=(x?z) ( (y?z)z? (x(y)=(z?x) ( (z?y),则称?(适合分配律.(和?都可交换,并且对于任意的x,yS有x((x?y)=xx?(x(y)=x,则称(和?运算满足吸收律. 例 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合, n(2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|(2 集合 运算 交换律 结合律 幂等律 Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法( 有 有 有 有 无 无 Mn(R) 矩阵加法+ 矩阵乘法( 有 无 有 有 无 无 P(B) 并( 交( 相对补( 对称差( 有 有 无 有 有 有 无 有 有 有 无 无 AA 函数符合( 无 有 无 例 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n(2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|(2 集合 运算 分配律 吸收律 Z,Q,