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(掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质);1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.;2.椭圆的标准方程
(1)设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).
又点M与点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>2c>0),
则椭圆的标准方程是: +=1(其中b2=a2-c2,a>b>0).
(2)设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆焦点F1、F2的坐标分别为(0,-c),(0,c).
又点M与点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>2c>0),
则双曲线的标准方程是: +=1(其中b2=a2-c2,a>b>0).;3.椭圆的几何性质;1.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O点的一定点,
点A是圆周上一点,把纸片折叠使点A与点Q重合,
然后抹平纸片,折痕CD??? OA交于P点,当点A运动
时点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
解析:由题图可知PQ=PA,而OP+PA=r(圆的半径),即PQ+OP=r.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆,故选A.
答案:A;2.椭圆 +y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,
一个交点为P,则 等于( )
解析:本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.
一般地,过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦
长,叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为 .本题中|PF1|=
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,
∴|PF2|=4- .
答案:C;3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( );4.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为______________.
解析:设动圆的半径为r,动圆圆心P为(x,y),根据已知条件得
|PC1|=1+r,|PC2|=9-r,则|PC1|+|PC2|=10.
∴P点的轨迹为以C1(-3,0)、C2(3,0)为焦点,长轴长2a=10的
椭圆,则a=5,c=3,∴b2=16,所求椭圆的方程为 =1.
答案: +=1;利用椭圆的定义可推导椭圆的标准方程,若P是椭圆 +=1(a>b>0)上一点,
F1、F2分别是椭圆 +=1(a>b>0)的左、右焦点,根据椭圆定义知,|PF1|+
|PF2|=2a,|F1F2|=2c,可利用所给的条件解△PF1P2.例如已知P点横坐标为x0,
则利用椭圆的第二定义可求出|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0等. ;【例1】 椭圆 +=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
解析:由线段PF1的中点在y轴上知∠PF2F1=90°,
由已知条件a=2 ,c=3,
∴|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
即|PF1|2-|PF2|2=36.①
又|PF1|+|PF2|=4 ,②;变式1.设F1、F2为椭圆 =1的两个焦点,P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1||PF2|,求 的值.
解答:解法一:若∠PF2F1为直角,由已知|PF1|+|PF2|=6,
|PF1|2= (6-|PF1|)2+20,得|PF1|= ,|PF2|= ,故= ;
若∠F1PF2为直 角,|PF1|+|PF2|=6,|PF1|2+|PF2|2=20,
解得|PF1|=4,|PF2|=2,故 =2.;解法二:由椭圆的对称性不妨设P(x,y)(x0,y0),则由已知可得F1
(- ,0),F2( ,0).根据直角的不同位置,分两种情况:
若∠PF2F1为直角,则P ,于是|PF1|= ,|PF2|= ,故 ;
若∠F1PF2为直角,
则
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