2015南平一中自主招生数学试卷答案.doc

2015年福建省南平一中自主招生数学学科评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.B；2.C；3.A；4.C；5.D；6.D；7. C；8. A；9.B；10.A. 二、填空题（本大题5小题，共20分） 11.；12.；13.2；14.；15.0＜＜(填＂＜＂不扣分) 三、解答题（本大题5小题，共50分） 16．（本题满分4分） 解：原式=…………………2分 = = ……………………4分 17.（本题满分8分） （1）证明：连OD，∵AD平分∠BA C，∴∠EAD=∠DAB， 又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO， ∴∠EAD=∠ADO，∴OD//AE，………………2分 又DE⊥AE，∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线………………4分 （2）解：连BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD, 在Rt中，由勾股定理得，AD=8， ∵∠DBA+∠DAB=， 同时∠DBA+∠DBF=， ∴∠DAB=∠DBF， ………………6分 ∴ Rt△ADB∽Rt△BDF ,∴ ,∴ BF = ……8分 （本题满分8分） 解：当x 0，原方程化为, 若时，方程无解，∴ ∴，由x 0得a 0或a 1………………4分 当x 0，原方程化为, 若时，方程无解，∴ ∴，由x 0得-1 a 0 ……………………6分 所以，满足原方程没有负根的取值范围是或． 综上：所求的a的取值范围是或 ……………………8分 19.（本题满分15分） 解：（1）如图1，连接AC交BD于O点， ∵菱形ABCD，∠ADC＝60°，∴△ACD与△ABC为等边三角形， ∵菱形ABCD的边长为2，∴DO=BO=, 当点E与点D重合时，点P为等边△ACD的外心 ∴DP=,…………………2分 C P A B E D F （第19题图1） O 当点E与点C重合时，点P为等边△ABC的外心 ∴DP=, ∴线段DP长的取值范围为……4分 （2）证明：如图1，∵△ACD与△ABC为等边三角形， ∴AD=AC，∠ADE=∠ACE=60°， ∵四边形AFCE为⊙P的内接四边形， G N M C P A B E D F （第19题图2） ∴∠AEC+∠AFC=180°,∵∠AED+∠AEC=180°, ∴∠AED=∠AFC,∴△ADE≌△ACF ∴AE=AF　　　……………………………………7分 ∵∠AFE=∠ACE=60°， ∴△AEF是等边三角形. 　………………………9分 （3）为定值1．……………………10分 当AE⊥CD时，△AEF面积最小，　……………11分 此时点E??F分别为DC、BC中点 连接AC交BD于点P， 解法一：如图2，设DM=x，DN=y，则CN=y-2， ∵BC∥AD，∴△GBP≌△MDP，∴BG=DM=x，∴CG=2-x， ∵BC∥AD，∴△NCG∽△NDM，∴，……………………………13分 ∴，∴，∴，………14分 （第19题图3） G N M C P A B E D F I J ∴，即．…………15分 解法二： 如图3，过点P作PI⊥DC于，PJ⊥DA于， 则PI=PJ=， ∵，………13分 ∴， ∴， ∴，　………14分 ∴．　　　　…………15分 20.（本题满分15分） 解：（1）如图1，设P（a，-2）， (第20题图1) A x y O P M ( = 1 \* roman \* MERGEFORMAT i)当a=0时，点P与点A重合，这时OP的垂直平分线为， 此时∠AOP=∠MPO= 得，M(0, -1), ……………………1分 ( = 2 \* roman \* MERGEFORMAT ii)当a ≠0时，设M（x,y） 由MP∥y轴，有， ∵M是线段OP的垂直平分线上一点∴， 又 ， ∴，平方得，（）……………3分 综上,所求的函数关系式为.………5分 (2)由（1）知当点M在上时，作MG 垂直于y=-2于点G， 由（1）的推导过程得则︱MO︱=︱MG︱, 则︱MO︱+︱MT︱=︱MG︱+︱MT︱，………7分 作TF垂直于直线y=-2于点F，则︱MG︱+︱MT︱≥︱TF︱， 又T(1，2)，得︱TF︱=3，在 中，令x=1得， 即当点M的坐标为（ QUOTE 1,）时，︱MO︱+︱MT︱的最小值为4. ………10分 ?不妨取m=1得直线为y=x ，