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3.2 集合的运算;3.2.2 集合的运算 运算是数学上常用的手段。集合也可以进行运算，绐定 n 个集合，按照一定规则，通过集合的 n 元运算可以得到一个新的集合，下面我们引入几个基本的集合运算，它们是二元运算 ∪、∩、?、?、? 及一元运算 ~。;定义3.7 设 A 和 B 是任意两个集合： (1) A 和 B 的所有公共元素组成的集合称为 A 和 B 的交集，记为 A∩B，即 A∩B＝{x | x∈A∧x∈B}； (2) 将 A 和 B 的所有元素合在—起构成的集合称为 A 和 B 的并集，记为 A∪B， 即 A∪B＝{x | x∈A∨x∈B}； (4) 从集合 A 中去掉集合 B 的元素得到的集合称为 A 和 B 的差集，也称作 B 相对于 A 的相对补集，记为A?B，即 A?B＝{x | x∈A∧x?B}； (5) 若集合 A 和 B 没有公共元素，即A∩B＝Φ，则称 A 和 B 不相交。;E;【例3.8】设 A＝{1, 2, 3, 4}， B＝{2, 3, 5}， 求 A∩B、A∪B、A?B 和 B?A。 解：A∪B＝{1, 2, 3, 4, 5}。 A∩B＝{2, 3}。 A?B＝{1, 4}。 B?A＝{5}。 ;【例3.9】设 A 是素数集合，B 是奇数集合， 求 A?B。 解：因为除了 2 以外，其他的素数均为奇数， 故 A?B＝{2}。 【例3.10】设 A ? B， 求证：A∩C ? B∩C。 证明：若 x∈A 则 x∈B，对 ?x∈A∩C， 则 x∈A 且 x∈C， 即 x∈B 且 x∈C，故 x∈B∩C。 因此，A∩C ? B∩C。 ;【例3.11】 设 A ? B，C ? D， 求证：A∪C ? B∪D。 证明：对 ?x∈A∪C，则有 x∈A 或 x∈C。 若 x∈A，由 A ? B 则 x∈B， 故 x∈B∪D； 若 x∈C，由 C ? D 则 x∈D， 故 x∈B∪D。 因此，A∪C ? B∪D。 ;如前所述，在某一特定场合我们所讨论的集合都是一个固定集合 E 的子集，我们给出如下定义： 定义3.8 集合的绝对补，简称补，记作 ~A（有些教科书中记作、Ac），是指所有属于E但不属于 A 的元素构成的集合。即 ~A＝{x | x∈E∧x?A}，它是一元运算，是差运算的特例。;【例3.12】设 E＝Z+，A＝{全体正奇数}， B＝{全体正偶数}， 求: A∩B、A∪B、A?B、~A、~B。 解：A∪B＝{全体正整数}＝Z+， A∩B＝Φ。 A?B＝Φ。 ~A＝B。 ~B＝A。 ; 定理3.6 设 A, B, C 是任意集合，则 (1) A ? A∪B，B ? A∪B； (2) A∩B ? A，A∩B ? B； (3) A?B ? A； (4) A?B＝A∩~B； (5) A?B＝A? (A∩B)； (6) 若 A ? C，B ? C，则 A∪B ? C； (7) 若 A ? B，A ? C，则 A ? B∩C； (8) 若 A ? B，则 ~B ? ~A。 ;定义3.9 考虑 n 个不同的集合 A1, A2, …, An，这 n 个集合的基本积是一个形如 A1*∩A2*∩…∩An* 的集合，其中 A* 或者是 A 或者是 ~A。 注意： （1）这样的基本积共有 2n 个； （2）任意两个这样的基本积是不交的； （3）全集 E 是所有这些基本积的并。;【例3.13】考虑三个集合 A, B, C，列出这三个集合所构成的基本积如下：