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3_78复合关系逆关系及闭包
3-7 复合关系和逆关系;3-7.2逆关系;例1: 设 R={ a,b, c,d },
S={ b,e,d,c }.
求: (1)Rc ,Sc.
(2) R°S, S°R
解: (1) Rc = {b,a,d,c}
Sc = {e,b,c,d}.
(2) R°S={a,e ,c,c}
S°R={d,d}.
例2:(书上的例题2,第115页);定理1: 设R1,R2,R3为关系, R1 是X到Y的关系, R2是Y到Z的关系, R3是Z到W的关系则(R1°R2)°R3 = R1° (R2° R3).
证明: ?x,w, x,w?(R1 °R2) °R3
? ?z(z?Z ? x (R1°R2)z ? zR3w )
? ?z(z?Z ? ?y(y?Y ? xR1y ?yR2z ) ?zR3w)
? ?z?y(z?Z ? y?Y ? xR1y ?yR2z ?zR3w)
? ?yt?z(z?Z ? y?Y ? xR1y ?(yR2z ?zR3w) )
? ?y(y?Y ? xR1y ??z(z?Z ? yR2z ?zR3w))
? ?y(y?Y ? xR1y? y(R2°R3)w )
? xR1°(R2°R3)w ? x,w?R1°(R2°R3)
? (R1°R2) °R3 = R1°(R2 ° R3). #
说明: 本定理说明复合运算满足结合律. ; ;7-3.3关系矩阵的性质:;3-7.4逆关系关系图的性质:;定理2: 设R、 R1 、 R2都是从A到B的二元关系,则有
(1)( R1? R2) c= R1 c ? R2 c
(2) ( R1?R2) c= R1 c ? R2 c
(3)(A×B) c= B ×A
(4)(~R) c = ~ Rc, 这里~R =A×B-R
(5) ( R1-R2) c = R1 c - R2 c
注:证明(1)(4)(5)见书117页。;定理3: 设R,S为二元关系, 则(R°S)c =S c °Rc.
证明: ?x,y,
x,y?(R°S)c
? y,x?(R°S)
? ?z( yRz ? zSx )
? ?z( zRcy ? xScz )
? ?z( xScz ? zRcy)
? x,y?Sc °Rc. ;定理4:设R为X上的二元关系,则
(1) R是对称的?R=Rc(证明见书118页)
(2) 是反对称的?R?Rc ? IX
定理5:[P119 (2)]设R为X上的二元关系,则
(1) R是传递的? (R°R) ?R
(2) R是自反的? IX ?R;例题: 设 A={a,b,c},
R1={a,a,a,b,b,a,b,c},
R2={a,b,a,c,b,c},
用MR1, MR2确定MR1c , MR2c, MR1°R1, MR1°R2, MR2°R1, 从而求出它们的集合表达式.; 1 1 0 1 1 0
MR1= 1 0 1 MR1c= 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0
MR2= 0 0 1 MR2c= 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 1 1
MR1?R2 =MR1? MR2= 0 1 1
0 0 0
R1°R2 = {a,b,a,c,b,b,b,c}.; 1 1 0 1 1 0 1 1 1
MR1?R1 =MR1? MR1= 1 0 1 ? 1 0 1 = 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
R1°R1 = {a,a,a,b,a,c,b,a,b,b}.
0 1 1 1 1 0 1 0 1
MR2?
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